Викия

Математика

p-адическое число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel), первая публикация относится к 1897 году.

Поле p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Q_p.

Метрическое построение Править

p-адическая норма Править

Любое рациональное число r можно представить как r=p^n\frac ab где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целoe. Тогда |r|_pp-адическая норма r — определяется как p^{-n}. Если r=0, то |r|_p=0.

Построение Править

Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой d_p, определённой p-адической нормой: d_p(x,y)=|x-y|_p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел.

Норма |r|_p продолжается по непрерывности до нормы на \mathbb Q_p.

Алгебраическое построение Править

Целые p-адические числа Править

Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность x=\{x_1,x_2,...\} вычетов x_n по модулю p^{n}, удовлетворяющих условию x_n\equiv x_{n+1} \mod{p^n}. Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число a отождествляется с p-адическим числом x= \{a, a, . . .\}.

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Z_p.

Другими словами, кольцо целых p-адических чисел определяется как проективный предел

\lim_{\leftarrow}\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z

колец \mathbb Z/{p^n}\mathbb Z вычетов по модулю p^n относительно естественных проекций \mathbb Z/{p^{n+1}}\mathbb Z\to\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z.

p-адические числа Править

p-адическим числом называется элемент поля частных \mathbb Q_p кольца \mathbb Z_p целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.

Свойства Править

  • Каждый элемент поля p-адических чисел может быть представлен в виде
\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i
где n_0 — некоторое целое число, а a_i — целые неотрицательные числа, не превосходящие p-1. Такая сумма всегда сходится в метрике d_p.
|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.
  • Числа x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p\le 1 образуют кольцо \mathbb Z_p целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел \mathbb Z\subset \mathbb Q в норме |x|_p.
  • Числа x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p= 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
  • Совокупность чисел x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p<1 является главным идеалом в \mathbb Z_p с образующим элементом p.
  • метрическое пространство (\mathbb Z_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству, а пространство (\mathbb Q_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных p нормы |x|_p независимы, а поля \mathbb Q_p неизоморфны.
  • Для любых элементов r, r2, r3, r5, r7, …, таких что r_\infty\in \mathbb R и r_p\in \mathbb Q_p, можно найти последовательность рациональных чисел xn, таких что для любого p, |x_i-r_p|_p\to 0 и |x_i-r_\infty|\to 0.

Применения Править

  • Если F(x_1,x_2,...,x_n) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0\mod p^k
эквивалентна разрешимости уравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0
в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля, при n=1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (т.е. простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n=1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k=1.

Литература Править

  • Hensel, K., Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein 6, 83-88, 1897. (Первая публикация о p-адических числах)
  • Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю., 2-адические числа. Квант, № 2, 1979.


Шаблон:Категория только в статьяхca:Nombre p-àdiche:מספר p-אדיnl:P-adisch getal

pl:Liczby p-adyczne sv:P-adiska talzh-classical:進數

Викия-сеть

Случайная вики