Cходимость по распределению
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.
Содержание |
[править] Определение
Пусть дано вероятностное пространство 
и определённые на нём случайные величины 
. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на 
, называемую её распределением.
Случайные величины 
сходятся по распределению к случайной величине 
, если распределения 
слабо сходятся к распределению 
, то есть
для любой ограниченной борелевской функции 
.
[править] Замечания
- Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
.
- Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.
[править] Свойства сходимости по распределению
- Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения
сходятся к функции распределения предела 
во всех точках непрерывности последней:
.
- Если все случайные величины в определении дискретны, то
тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:
.
- Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
то . Обратное, вообще говоря, неверно!
- Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в
) влечёт сходимость по распределению:
.
Обратное, вообще говоря, неверно.
[править] См. также
Эта статья содержит материал из статьи Cходимость по распределению русской Википедии.
