Викия

Математика

Экстремум

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения Править

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 - внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x_0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).

Если неравенства выше строгие, то x_0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • x_0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Значение функции f(x_0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точка (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание Править

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x) = x,\; x\in (-1,1).

Необходимые признаки существования локальных экстремумов Править

  • (Лемма Ферма.) Пусть функция f\in \mathcal{D}(x_0) дифференцируема в точке локального экстремума x_0. Тогда
    f'(x_0) = 0.

Достаточные признаки существования локальных экстремумов Править

  • Пусть функция f\in C(x_0) непрерывна в x_0\in M^0, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0.

Тогда x_0 является точкой строгого локального максимума. Если

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

то x_0 является точкой строгого локального минимума.

См. также Править


cy:Uchafbwyntiau ac isafbwyntiauhe:נקודת קיצוןuk:Екстремум

Викия-сеть

Случайная вики