Экспоненциальное распределение
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
| Плотность вероятности Файл:Exponential distribution pdf.png | |
| Функция распределения Файл:Exponential distribution cdf.png | |
| Параметры |  - интенсивность или обратный коэффициент масштаба
|
| Носитель | 
|
| Плотность вероятности | 
|
| Функция распределения | 
|
| Математическое ожидание | 
|
| Медиана | 
|
| Мода | 
|
| Дисперсия | 
|
| Коэффициент асимметрии | 
|
| Коэффициент эксцесса | 
|
| Информационная энтропия | 
|
| Производящая функция моментов | 
|
| Характеристическая функция | 
|
Экспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Содержание |
[править] Определение
Случайная величина 
имеет экспоненциальное распределение с параметром 
, если её плотность имеет вид
-
.
Иногда семейство экспоненциальных распределений параметризуют обратным параметром 
:
-
.
Оба способа одинаково естественны, и необходима лишь договорённость, какой из них используется.
Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр 
тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.
В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: 
.
[править] Функция распределения
Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:
[править] Моменты
Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:
-
,
откуда получаем все моменты:
-
.
В частности,
-
,
-
.
[править] Отсутствие памяти
Пусть . Тогда 
.
Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.
[править] Связь с другими распределениями
- Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть
независимые случайные величины, и 
. Тогда
-
.
- Экспоненциальное распределения является частным случаем Гамма распределения:
-
.
- Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть независимые случайные величины, и
. Тогда
-
.
- Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть
. Тогда
-
.
- Экспоненциальное распределение с параметром
— это частный случай распределения хи-квадрат:
-
.
| править | |||||||||||
Эта статья содержит материал из статьи Экспоненциальное распределение русской Википедии.
