Викия

Математика

Экспоненциальное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Экспоненциальное распределение
Плотность вероятности
Probability density function
Функция распределения
Cumulative distribution function
Параметры \lambda > 0 \, - интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель x \in [0;\infty)\!
Плотность вероятности \lambda e^{-\lambda x}
Функция распределения 1 - e^{-\lambda x}
Математическое ожидание \lambda^{-1}\,
Медиана \ln(2)/\lambda\,
Мода 0\,
Дисперсия \lambda^{-2}\,
Коэффициент асимметрии 2\,
Коэффициент эксцесса 6\,
Информационная энтропия 1 - \ln(\lambda)\,
Производящая функция моментов \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
Характеристическая функция \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,

Экспоненциальное распределениеабсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение Править

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром \lambda > 0, если её плотность имеет вид

f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda \,e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right..

Иногда семейство экспоненциальных распределений параметризуют обратным параметром 1/\lambda:

f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
{1 \over \lambda} \,e^{-{ x \over \lambda}} &,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right..

Оба способа одинаково естественны, и необходима лишь договорённость, какой из них используется.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно 1/\lambda. Сам параметр \lambda тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины X задана первым уравнением, и будем писать: X \sim \mathrm{Exp}(\lambda).

Функция распределения Править

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:


F_X(x) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.

Моменты Править

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

\mathrm{M}_X(t) = \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1},

откуда получаем все моменты:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}.

В частности,

\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda},
\mathrm{D}[X] = \frac{1}{\lambda^2}.

Отсутствие памяти Править

Пусть X \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Тогда \mathbb{P}(X > s+t \mid X > s) = \mathbb{P}(X > t).

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями Править

  • Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть X_1, \ldots, X_n независимые случайные величины, и X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i). Тогда
 Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma(1, \lambda).
  • Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть X_1, \ldots, X_n независимые случайные величины, и X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda).
X = - \frac{1}{\lambda} \ln U \sim \mathrm{Exp}(\lambda).
\mathrm{Exp}(2) \equiv \chi^2(2).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править


Эта статья содержит материал из статьи Экспоненциальное распределение русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики