Викия

Математика

Шар (метрическая геометрия)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии

Определения Править

U_r(x_0) = \{x \in X \mid \varrho(x,x_0) < r\}.
  • Замкнутым шаром с центром в x_0 и радиусом r называется множество
U_r[x_0] = \{x \in X \mid \varrho(x,x_0) \le r\}.

Свойства Править

U_1(x) = \{x\},\; \overline{U_1(x)} = \{x\},\; U_1[x] = X.

Примеры Править

  • если d=1, то U_r(x_0) = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right), U_r[x_0] = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].
  • если d=2, то U_r(x_0,y_0) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + < r^2 \right\},U_r[x_0,y_0] = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 \leq r^2 \right\} - открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если d=3, то U_r(x_0,y_0,z_0) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z - z_0)^2 < r^2 \right\},U_r[x_0,y_0,z_0] = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq r^2 \right\} - открытый и замкнутый трёхмерный шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве \mathbb{R}^d метрику следующим образом:
\varrho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.

Тогда

  • если d=2, то U_r(x_0) — это открытый квадрат с центром в точке x_0 и сторонами длины \sqrt{2}, расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если d=3, то U_r(x_0) — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики