Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.
Аксиоматическое определение[]
Полное упорядоченное поле[]
Пусть на множестве заданы две бинарные операции и отношение порядка . Четвёрка называется полным упорядоченным полем, если
- представляет собой алгебраическое поле;
- является полностью упорядоченным множество с отношением порядка , то есть
- порядок устойчив относительно сложения:
- порядок устойчив относительно умножения:
- .
- порядок устойчив относительно сложения:
- упорядоченное множество удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограничен
Изоморфизм полных упорядоченных полей[]
Пусть даны два полных упорядоченных поля и . Тогда они называются изоморфными, если существует биекция такая, что
Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.
Пополнение рациональных чисел[]
Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике . Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел Назовём две последовательности и эквивалентными, если существует предел
Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число с фундаментальной последовательностью , можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:
Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что
Дедекиндовы сечения[]
Рассмотрим опять множество рациональных чисел Дедекиндовым сечением множества называется такое его разбиение, что замкнуто снизу, замкнуто сверху, и не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число c сечением где
и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции и порядок следующим образом:
- , где
- , где
Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.
Пример[]
Число соответствует сечению , где
Бесконечные десятичные дроби[]
Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.
Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где являются десятичными цифрами, то есть .
Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где
Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.
Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда .
Ссылки[]
- Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
- Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.
Числа
| |
---|---|
множества | |
Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические | |
и их расширения | |
Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гиперреальные • Шаблон:Нп5 | |
числовых систем | |
Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица | |
числовые системы | |
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа | |
Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион | |
Степени тысячи | |
Тысяча*Миллион*Миллиард*Биллион*Триллион*Квадриллион*…*Центиллион | |
Древнерусские числа | |
Мириада*Лакх*Крор*Гугол*Асанкхейя*Гуголплекс | |
Прочие степени десяти | |
Мириада*Лакх*Крор*Гугол*Асанкхейя*Гуголплекс | |
Степени двенадцати | |
Дюжина*Гросс*Масса | |
Прочие целые | |
0*1*Чёртова дюжина*Число зверя*Число Рамануджана — Харди*Число Грэма*Число Скьюза*Число Мозера | |
Прочие числа | |
Пи*e (число Эйлера)*φ (Золотое сечение)*Серебряное сечение*Постоянная Эйлера — Маскерони*Постоянные Фейгенбаума*Постоянная Гельфонда*Константа Бруна*Постоянная Каталана*Постоянная Апери*Мнимая единица |
Шаблон:Категория только в статьях
Эта статья содержит материал из статьи Вещественное число русской Википедии.