Викия

Математика

Числа Бернулли

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

B_0=1
B_1=-\frac12
B_2=\frac16
B_3=0
B_4=-\frac1{30}
B_5=0
B_6=\frac1{42}
B_7=0
B_8=-\frac1{30}
B_9=0
B_{10}=\frac5{66}
B_{11}=0
B_{12}=-\frac{691}{2730}
B_{13}=0
B_{14}=\frac76
B_{15}=0
B_{16}=-7\frac{47}{510}

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1-s}

Формула для чисел БернуллиПравить

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула: B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}

СвойстваПравить

  • Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B_1, равны нулю, знаки B_{2n} чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями при x=0 многочленов Бернулли: B_n = B_n(0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi,
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Из чего следует
B_n=-n\zeta(1-n) для всех n.
  • \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|, n=1,2,...

ЛитератураПравить



Эта статья содержит материал из статьи Числа Бернулли русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики