Викия

Математика

Частичный предел последовательности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:LimSup.png

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать \delta_n=1/n и, выбирая в каждой \delta-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается \varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}} или \liminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}} или \limsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал (0,1). Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть sверхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что \forall\varepsilon>0(s-\varepsilon\neq\sup(A))\Rightarrow(\exists a_1\in A:s-\varepsilon<a_1\leqslant s), а это означает, что в любой окрестности точки a_1 находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого \varepsilon, мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a_1). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность \{x_n\} сходится к a тогда и только тогда, когда \varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a, так как получается, что a — единственная предельная точка множества элементов последовательности.bn:ঊর্দ্ধসীমাpl:Granica dolna i górna

Викия-сеть

Случайная вики