Викия

Математика

Циклическая группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В теории групп группа (G, \cdot) называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где nцелое число.)

Таким образом, мы называем G циклической, если G = {an| n \in \mathbb{Z}}. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G. Это следует из того, что в такой подгруппе должны содержаться все степени элемента a.

Например, если G = {e, g1, g2, g3, g4, g5}, то G циклическая. В этом случае можно заметить, что G устроена также, как и группа {0, 1, 2, 3, 4, 5} с операцией сложения по модулю 6 (говоря формально, G изоморфна ей). Изоморфизм строится, если в соответствие g поставить 1 из второй группы.

Для каждого числа существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа такого порядка. Также существует ровно одна бесконечная циклическая группа. Из-за такой простоты их строения циклические группы досконально изучены и классифицированы.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени g^n будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению (\mathbb{Z}, +).

Поскольку все циклические группы абелевы, их часто обозначают как \mathbb{Z}_n, хотя некоторые математики такого обозначения избегают, обозначая их как факторгруппы целых чисел (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}), чтобы не спутать с другими общепринятыми обозначениями.

Свойства Править

Каждая циклическая группа изоморфна группе {0, 1, 2, … n - 1} со сложением по модулю n или \mathbb{Z}, группе целых чисел по сложению. Таким образом, для понимания устройства всех циклических групп достаточно изучить только эти. Такое свойство делает циклические группы очень лёгкими для изучения. Известно много интересных свойств таких групп. Пусть дана циклическая группа G порядка n (возможно, бесконечного). Тогда для всех g из G верно слеующее:

  • G абелева; то есть групповая операция коммутативна: ab = ba. Это верно, поскольку (a + b) mod n = (b + a) mod n.
  • Если n < \infty, то g^n = e, поскольку n mod n = 0.
  • Если же n = \infty, то существуют только два порождающих элемента: 1 и -1 (в обозначениях (\mathbb{Z}, +)).
  • Каждая подгруппа G циклична.
  • Gn изоморфна \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} (факторгруппа \mathbb{Z} по n\mathbb{Z}), поскольку \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = {0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, 2 + n\mathbb{Z}, …, n - 1 + n\mathbb{Z}} \cong {0, 1, 2, 3, 4, … n - 1} с сложением по модулю n.

Порождающими \mathbb{Z}_n являются все числа от 1 до n, которые взаимно просты с n; их количество равно φ(n), где φ — функция Эйлера. Более общо, если d является делителем n, то число элементов порядка d в \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} равно φ(d). Порядок класса вычета m равен n / НОД(n,m).

Если pпростое число, то группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).

Прямое произведение двух циклических групп \mathbb{Z}_n и \mathbb{Z}_m циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты. Например, \mathbb{Z}_{12} является прямым произведением \mathbb{Z}_3 и \mathbb{Z}_4, но не \mathbb{Z}_6 и \mathbb{Z}_2.

Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа \mathbb{Z}_{p^n}, где p — простое число, или \mathbb{Z}.

\mathbb{Z}_n также являются коммутативными кольцами (по сложению и умножению). Если p — простое число, то \mathbb{Z}_p — конечное поле, также обозначаемое Fp или GF(p). Каждое конечное поле с p элементами изоморфно Fp.

Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).

Примеры Править

Группа корней из единицы степени n по умножению.

Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.

Представление Править

Циклические диаграммы циклических групп являются n-сторонними многоугольниками, их элементы располагаются в вершинах. Заштрихованная вершина обозначает нейтральный элемент группы, а остальные элементы располагаются по кругу в порядке возрастания степени образующего элемента.

Эндоморфизмы Править

Кольцо эндоморфизмов группы \mathbb{Z}_n изоморфно самой группе как кольцу. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм \mathbb{Z}_n, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов \mathbb{Z}_n изоморфна \mathbb{Z}_n {}^{\times}.cs:Cyklická grupaeo:Cikla grupohe:חבורה ציקלית hu:Ciklikus csoportnl:Cyclische groep pl:Grupa cyklicznasr:Циклична група sv:Cyklisk grupp vi:Nhóm cyclic

Викия-сеть

Случайная вики