Центральная предельная теорема

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.

Содержание 1 Классическая формулировка Ц.П.Т. 2 Замечания 3 Локальная Ц.П.Т. 4 Некоторые обобщения 4.1 Ц.П.Т. Линдеберга 4.2 Ц.П.Т. Ляпунова 4.3 Ц.П.Т. для мартингалов

[править] Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть суть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и соответственно. Пусть . Тогда

по распределению при .

Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

по распределению при .

[править] Замечания

• Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к . Эквивалентно, имеет распределение близкое к .
• Случайные величины могут быть определены на разных вероятностных пространствах. Они лишь должны принимать значение в одной и той же вещественной прямой.
• Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где  — функция распределения стандартного нормального распределения.
• Центральная предельная теорема в классической фоормулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
• Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место

[править] Локальная Ц.П.Т.

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того

при ,

где - плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

[править] Некоторые обобщения

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

[править] Ц.П.Т. Линдеберга

Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

Тогда

по распределению при .

[править] Ц.П.Т. Ляпунова

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

. Если предел

(условие Ляпунова),

то

по распределению при .

[править] Ц.П.Т. для мартингалов

Пусть процесс является мартингалом. Введём случайные процессы и следующим образом:

и

.

Тогда

по распределению при .ca:Teorema del límit central

cs:Centrální limitní větahe:משפט הגבול המרכזי is:Höfuðsetning tölfræðinnarja:中心極限定理nl:Centrale limietstelling no:Sentralgrenseteoremet pl:Centralne twierdzenie granicznesu:Central limit theorem sv:Centrala gränsvärdessatsen vi:Định lý giới hạn trung tâm zh:中心极限定理