ФЭНДОМ


Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.

Классическая формулировка Ц.П.Т. Править

Пусть $ X_1,\ldots, X_n,\ldots $ суть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние $ \mu $ и $ \sigma^2 $ соответственно. Пусть $ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i $. Тогда

$ \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) $ по распределению при $ n \to \infty $.

Обозначив символом $ \bar{X} $ выборочное среднее первых $ n $ величин, то есть $ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i $, мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

$ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \to N(0,1) $ по распределению при $ n \to \infty $.

Замечания Править

  • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма $ n $ независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к $ N(n\mu, n \sigma^2) $. Эквивалентно, $ \bar{X} $ имеет распределение близкое к $ N(\mu,\sigma^2/n) $.
  • Случайные величины $ \{X_i\}_{i=1}^{\infty} $ могут быть определены на разных вероятностных пространствах. Они лишь должны принимать значение в одной и той же вещественной прямой.
  • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив $ Z_n = \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt{n}} $, получаем $ F_{Z_n}(x) \to \Phi(x),\; \forall x \in \mathbb{R} $, где $ \Phi(x) $ — функция распределения стандартного нормального распределения.
  • Центральная предельная теорема в классической фоормулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
  • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место

Локальная Ц.П.Т. Править

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин $ \{X_i\}_{i=1}^{\infty} $ абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение $ Z_n $ также абсолютно непрерывно, и более того

$ f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} $ при $ n \to \infty $,

где $ f_{Z_n}(x) $ - плотность случайной величины $ Z_n $, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Некоторые обобщения Править

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т. Линдберга Править

Пусть независимые случайные величины $ X_1,\ldots ,X_n, \ldots $ определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: $ \mathbb{E}[X_i] = \mu_i,\; \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2_i $. Как и прежде построим частичные суммы $ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i $. Тогда в частности, $ \mathbb{E}[S_n] = m_n = \sum\limits_{i=1}^n \mu_i,\; \mathrm{D}[S_n] = s_n^2 = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2 $. Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

$ \forall \varepsilon>0,\; \lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}\left[\frac{(X_i-\mu_i)^2}{s_n^2}\, \mathbf{1}_{\{|X_i-\mu_i|> \varepsilon s_n\}}\right] = 0. $

Тогда

$ \frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) $ по распределению при $ n \to \infty $.

Ц.П.Т. Ляпунова Править

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины $ \{X_i\} $ имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

$ r^3_n = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[|X_i-\mu_i|^3\right] $. Если предел
$ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{r_n}{s_n} = 0 $ (условие Ляпунова),

то

$ \frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) $ по распределению при $ n \to \infty $.

Ц.П.Т. для мартингалов Править

Пусть процесс

$ (X_n)_{n\in \mathbb{N}} $ является мартингалом. Введём случайные процессы

$ \sigma^2_n $ и

$ \tau_n $ следующим образом:

$ \sigma_n^2 = \mathbb{E} \left[(X_{n+1}-X_n)^2 \mid X_1 ,\ldots, X_n\right] $

и

$ \tau_n = \min\left\{n \left\vert\; \sum_{i=1}^n \sigma^2_i \ge n \right. \right\} $.

Тогда

$ \frac{X_{\tau_n}}{\sqrt{n}} \to N(0,1) $по распределению при$ n \to \infty $.


ca:Teorema del límit central cs:Centrální limitní větahe:משפט הגבול המרכזי is:Höfuðsetning tölfræðinnarnl:Centrale limietstelling no:Sentralgrenseteoremet pl:Centralne twierdzenie granicznesu:Central limit theorem sv:Centrala gränsvärdessatsen vi:Định lý giới hạn trung tâm