Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.
Классическая формулировка Ц.П.Т.[]
Пусть суть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и соответственно. Пусть . Тогда
- по распределению при .
Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
- по распределению при .
Замечания[]
- Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к . Эквивалентно, имеет распределение близкое к .
- Случайные величины могут быть определены на разных вероятностных пространствах. Они лишь должны принимать значение в одной и той же вещественной прямой.
- Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где — функция распределения стандартного нормального распределения.
- Центральная предельная теорема в классической фоормулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
- Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место
Локальная Ц.П.Т.[]
В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того
- при ,
где - плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.
Некоторые обобщения[]
Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.
Ц.П.Т. Линдберга[]
Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:
Тогда
- по распределению при .
Ц.П.Т. Ляпунова[]
Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность
- . Если предел
- (условие Ляпунова),
то
- по распределению при .
Ц.П.Т. для мартингалов[]
Пусть процесс
является мартингалом. Введём случайные процессы
и
следующим образом:
и
- .
Тогда
- по распределению при.
ca:Teorema del límit central
cs:Centrální limitní věta
he:משפט הגבול המרכזי
is:Höfuðsetning tölfræðinnar
nl:Centrale limietstelling
no:Sentralgrenseteoremet
pl:Centralne twierdzenie graniczne
su:Central limit theorem
sv:Centrala gränsvärdessatsen
vi:Định lý giới hạn trung tâm