Викия

Математика

Центральная предельная теорема

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.

Классическая формулировка Ц.П.Т. Править

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots суть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние \mu и \sigma^2 соответственно. Пусть S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда

\frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Обозначив символом \bar{X} выборочное среднее первых n величин, то есть \bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i, мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Замечания Править

  • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к N(n\mu, n \sigma^2). Эквивалентно, \bar{X} имеет распределение близкое к N(\mu,\sigma^2/n).
  • Случайные величины \{X_i\}_{i=1}^{\infty} могут быть определены на разных вероятностных пространствах. Они лишь должны принимать значение в одной и той же вещественной прямой.
  • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Z_n = \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt{n}}, получаем F_{Z_n}(x) \to \Phi(x),\; \forall x \in \mathbb{R}, где \Phi(x) — функция распределения стандартного нормального распределения.
  • Центральная предельная теорема в классической фоормулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
  • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место

Локальная Ц.П.Т. Править

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин \{X_i\}_{i=1}^{\infty} абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Z_n также абсолютно непрерывно, и более того

f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} при n \to \infty,

где f_{Z_n}(x) - плотность случайной величины Z_n, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Некоторые обобщения Править

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т. Линдберга Править

Пусть независимые случайные величины X_1,\ldots ,X_n, \ldots определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии:  \mathbb{E}[X_i] = \mu_i,\; \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2_i. Как и прежде построим частичные суммы S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда в частности, \mathbb{E}[S_n] = m_n = \sum\limits_{i=1}^n \mu_i,\; \mathrm{D}[S_n] = s_n^2 = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2. Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

\forall \varepsilon>0,\; \lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}\left[\frac{(X_i-\mu_i)^2}{s_n^2}\, \mathbf{1}_{\{|X_i-\mu_i|> \varepsilon s_n\}}\right] = 0.

Тогда

\frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Ц.П.Т. Ляпунова Править

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины \{X_i\} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

r^3_n = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[|X_i-\mu_i|^3\right]. Если предел
\lim\limits_{n\to \infty} \frac{r_n}{s_n} = 0 (условие Ляпунова),

то

\frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Ц.П.Т. для мартингалов Править

Пусть процесс (X_n)_{n\in \mathbb{N}} является мартингалом. Введём случайные процессы \sigma^2_n и \tau_n следующим образом:

\sigma_n^2 = \mathbb{E} \left[(X_{n+1}-X_n)^2 \mid X_1 ,\ldots, X_n\right]

и

\tau_n = \min\left\{n \left\vert\; \sum_{i=1}^n \sigma^2_i \ge n \right. \right\}.

Тогда

\frac{X_{\tau_n}}{\sqrt{n}} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.ca:Teorema del límit central

cs:Centrální limitní větahe:משפט הגבול המרכזי is:Höfuðsetning tölfræðinnarnl:Centrale limietstelling no:Sentralgrenseteoremet pl:Centralne twierdzenie granicznesu:Central limit theorem sv:Centrala gränsvärdessatsen vi:Định lý giới hạn trung tâm

Викия-сеть

Случайная вики