Викия

Математика

Целое число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Множество целых чисел \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} определяется как замыкание множества натуральных чисел \mathbb{N} относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n (n\in\mathbb{N}) и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, 14871567), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, 14451500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

Определение Править

Арифметические операции и порядок Править

Пользуясь имеющимися операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, введём соответствующие операции на построенном множестве целых чисел:

\bigl[(m_1,n_1)\bigr] + \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1+n_1,m_2 + n_2)\bigr];
\bigl[(m_1,n_1)\bigr] \cdot \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1 \cdot m_2 +n_1 \cdot n_2,m_1 \cdot n_2 + m_2 \cdot n_1)\bigr].

Определённые выше операции корректны, то есть не зависят от выбора представителей соответствующий классов эквивалентности. Сходным образом возможно использовать стандартный порядок на натуральных числах для определения частичного порядка на целых числах:

 \bigl[(m_1,n_1)\bigr]  \le \bigl[(m_2,n_2)\bigr]  \Leftrightarrow m_1 + n_2 \le m_2 + n_1.

Такой порядок является корректным и полным. Из архимедовости натуральных чисел следует, что множество целых чисел не обладает ни наибольшим, ни наименьшим элементом.

Стандартные обозначения и терминология Править

Пусть \bigl[(m,n)\bigr] \in \mathbb{Z}. Введём обозначение

\bigl[(m,n)\bigr]  \equiv \left\{
\begin{matrix}
m-n, & m \ge n, \\
-(n-m), & m < n. \\
\end{matrix}
\right.

В частности натуральные числа могут быть идентифицированы с парами вида

m \equiv \bigl[(m,0)\bigr],\quad m \in \mathbb{N}.

Легко убедиться, что введённые выше бинарные операции и порядок на целых числах согласнованы с уже имеющимися операция и порядком на множестве натуральных чисел. Таким образом с точностью до изоморфизма можно считать, что \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}. Множество \mathbb{N} \setminus \{0\} \equiv \{1,2,3,\ldots \} называется множество положительных целых чисел. Подмножество целых чисел вида

-n \equiv \bigl[ (0,n) \bigr],\quad n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}

называется множеством отрицательных целых чисел. Из определения порядка, данного выше, следует, что

\cdots < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < \cdots.

Алгебраические свойства Править

Основные алгебраические свойства введённых арифметических операций на целых числах суммированы в следующей таблице:

Тангенс сложение умножение
ассоциативность: a+(b+c) = (a+b)+c a \cdot(b \cdot c ) =(a \cdot b) \cdot c
коммутативность: a + b = b + a a \cdot b = b \cdot a
существование нейтрального элемента: a+0 = a a \cdot 1 = a
существование противоположного элемента: a + (-a) = 0
дистрибутивность умножения относительно сложения: a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

Таким образом

  • (\mathbb{Z},+) является абелевой группой, а также циклической группой, порождённой элементами 1 и -1.
  • Любая бесконечная циклическая группа изоморфна (\mathbb{Z},+).
  • (\mathbb{Z},\cdot) является коммутативным моноидом, но не является группой.
  • Суммируя, (\mathbb{Z},+,\cdot) представляет собой коммутативное кольцо с нейтральным элементами относительно обеих операций.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, b \not= 0, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 0 \le r < |b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, bделитель, q — частное, r— остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства Править

\mathbb{Z}линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
  2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике Править

Тип целое цисло — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса \mathbb{Z} в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

Ссылки Править


Шаблон:Категория только в статьях

Викия-сеть

Случайная вики