Математика
Регистрация
Advertisement

Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n (n) и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, 14871567), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, 14451500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

Определение[]

Арифметические операции и порядок[]

Пользуясь имеющимися операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, введём соответствующие операции на построенном множестве целых чисел:

Определённые выше операции корректны, то есть не зависят от выбора представителей соответствующий классов эквивалентности. Сходным образом возможно использовать стандартный порядок на натуральных числах для определения частичного порядка на целых числах:

Такой порядок является корректным и полным. Из архимедовости натуральных чисел следует, что множество целых чисел не обладает ни наибольшим, ни наименьшим элементом.

Стандартные обозначения и терминология[]

Пусть . Введём обозначение

В частности натуральные числа могут быть идентифицированы с парами вида

Легко убедиться, что введённые выше бинарные операции и порядок на целых числах согласнованы с уже имеющимися операция и порядком на множестве натуральных чисел. Таким образом с точностью до изоморфизма можно считать, что Множество называется множество положительных целых чисел. Подмножество целых чисел вида

называется множеством отрицательных целых чисел. Из определения порядка, данного выше, следует, что

Алгебраические свойства[]

Основные алгебраические свойства введённых арифметических операций на целых числах суммированы в следующей таблице:

Тангенс сложение умножение
ассоциативность:
коммутативность:
существование нейтрального элемента:
существование противоположного элемента:
дистрибутивность умножения относительно сложения:

Таким образом

  • является абелевой группой, а также циклической группой, порождённой элементами и .
  • Любая бесконечная циклическая группа изоморфна .
  • является коммутативным моноидом, но не является группой.
  • Суммируя, представляет собой коммутативное кольцо с нейтральным элементами относительно обеих операций.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, bделитель, q — частное, r— остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства[]

линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
  2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике[]

Тип целое цисло — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

Ссылки[]

Шаблон:Категория только в статьях

Advertisement