Викия

Математика

Характеристическая функция случайной величины

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Определение Править

Пусть есть случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx),

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина X принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве \mathcal{H}, то её характеристическая функция имеет вид:

\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H},

где \langle \cdot, \cdot \rangle обозначает скалярное произведение в \mathcal{H}.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Править

Если случайная величина X дискретна, то есть \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots, то

\phi_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{itx_i}\, p_i.

Пример. Пусть X имеет распределение Бернулли. Тогда

\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q.

Если случайная величина X абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность f_X(x), то

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx.

Пример. Пусть X \sim U[0,1] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}.

Cвойства характеристических функций Править

  • Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и \phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t. Тогда \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  • Характеристическая функция всегда ограничена:
|\phi_X(t)| \leq 1.
  • Характеристическая функция в нуле равна единице:
\phi_X(0) = 1.
  • Характеристическая функция всегда непрерывна: \phi_X \in C(\mathbb{R}).
  • Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть X_1,\ldots, X_n суть независимые случайные величины. Обозначим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда
\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t).

Вычисление моментов Править

Если случайная величина X имеет конечный n-ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную nпроизводную, то есть \phi_X \in C^n(\mathbb{R}), и более того:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = -i^n \left. \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}.

Формулы обращения Править

  • Пусть дана случайная величина X, с функцией распределения F_X и характеристической функцией \phi_X. Пусть даны две точки a,b\in \mathbb{R} такие, что a<b и F_X в них непрерывна, то есть F_X\in C\bigl(\{a,b\}\bigr). Тогда
F_X(b) - F_X(a) = \frac{1}{2\pi} \lim\limits_{T \to \infty} \int\limits_{-T}^T \frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\, \phi_X(t)\, dt.
  • Если кроме того X дискретна и принимает целые значения, то
\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z}.
  • Если \phi_X интегрируема на всей числовой прямой, то распределение случайной величины X абсолютно непрерывно, и её плотность f_X(x) имеет вид
f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Характеристическая функция случайной величины русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики