Викия

Математика

Характеристика и теорема Ферма

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Тупиковая статья

Шаблон:Сирота

Эту статью следует викифицировать.Характеристика и теорема Ферма Каждое простое число m имеет характеристику. Характеристика представляет собой число или совокупность чисел, обладающих определеными свойствами и обозначается как Kh m . Общее количество цифр входящих в характеристику называется ее рангом R и для простого числа m составляет m-1.

Ринг умножение Править

Ринг умножение характеристики на целое число выполняется по обычным правилам умножения, но избыточные старшие разряды отсекаются и суммируются с младшими разрядами. Например:123хКh 7= 123х142857=17571411. 17571411-17000000=571411. 571411+17=571428. То есть 123оКh 7 = 571428. Ринг умножение обозначается знаком «о» и результат сохраняет неизменным количество цифр.

Свойства характеристики Править

  1. Ринг умножение характеристики на любое целое число (не кратное основанию)не меняет последовательности ее цифр и приводит только к их сдвигу. Количество шагов сдвига обозначается индексом внизу: АоКh_0,m = Kh_s, m .
  2. Соотношение AoKh_s, m = BoKh_s, m эквивалентно A\eqivB(mod m)(в частности, если A^RoKh_0,m=Kh_0,m то A^R\eqiv1 (mod m) Для простого числа m R=m-1 ,для произведения простых чисел mn R=(m-1)(n-1), для степени m^p ранг R=m^(p-1)x(m-1).
  3. Если AoKh_0,m=Kh_s, m и BoKh_0,m=Kh_p, m, то для произведения АВ сдвиги суммируются то есть АВоКh_0,m = Кh_ s+p, m и А^noKh_0,m = Кh_ns, m
  4. Характеристика может быть получена из периода от деления натурального числа на исходное простое число.
  5. Справедливо равенство: Kh_s, m = 10^soKh_0,m то есть сдвиг на s шагов может быть получен ринг умножением характеристики на 10^s.
  6. Все цифры характеристики образуют пары дающие в сумме 9.
  7. Рассмотрим равенство: А+В=С. Умножим обе части на Кh_0,m.Пусть АоKh_0,m=Kh_s, m и ВоKh_0,m=Kh_p, m . Если p>s, можно записать AoKh_0,m + AoKh_(p-s), m = CoKh_0,m или AoKh_0,m + 10^(p-s)oKh_0,m = CoKh_0,m, что означает A[1+10^(p-s)]\eqivC (mod m).
  8. Сравнение C^n\eqiv x (mod m)(кроме случаев С кратно m) при целом р имеет p=\frac(m-1)n решений. Решения могут быть получены из формулы x = m10^-(m-1)Kh_p_i, m, где р_i=\frac(m-1)i n.

Теорема Ферма То есть равенство А^n+В^n = С^n (1) не имеет места при целых А,В,С. и n>2. Это равносильно утверждению, что сравнение A^n + B^n \eqiv C^n (mod m) не выполняется при каком либо модуле m. На основании свойств характеристики (3)и (7) можно записать: A^n(1+10^nt)oKh_0,m = C^noKh_0,m или A^n(1+10^nt)\eqiv C^n (mod m) (2)

И если сравнение (2) не выполняется, то не имеет места и равенство (1). Учитывая свойство (8), где под С понимается любое целое число (А,С,10^t) в степени n, обозначим его сравнение по модулю m через х, а сравнение 1+10^nt через х'. Тогда для выполнения сравнения (2)нужно, чтобы удовлетворялось сравнение хх'\eqiv х (mod m). (3) Пусть, например, n=2,m=7. Сравнение A²\eqiv x (mod 7) должно иметь 3 решения: х_1=1, х_2=2 ,х_3=4 соответственно х’_1=2, х’_2=3, х’_3 =5. В этом случае сравнение (3)выполняется для решений x_1,x’_1 ; x_1,x’_2 и равенство (1) может иметь место. Для случая n =3 , m =7 имеем 2 решения : х_1=1 и х_2=6 соответственно х’_1=2 и х’_2=7 (то есть 0 по модулю 7) в этом случае сравнение (3) не выполняется ни для одного решения и равенство (1)невозможно. Аналогично может быть рассмотрен вариант n =4 и m =13. Здесь также совпадающие решения отсутствуют. как и для более высоких степеней.

Текст заголовка Править

Литература: В.Воронель ЦФАТ 2006.

Викия-сеть

Случайная вики