Функция sinc(x)

Файл:Matlabsinrr.png

График sinc-функции. Двумерный случай

Sinc-функция, обозначаемая $\mathrm{sinc}(x)\,$, (от sinus cardinalis — кардинальный синус) имеет два определения, соответственно для нормированной sinc-функции и ненормированной sinc-функции:

1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная sinc-функция обычно определяется как

   $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$

2. В математике ненормированная sinc-функция определяется как

   $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$

В обоих случаях значение функции в особой точке в нуле задаётся явно равным единице (см. замечательные пределы). Таким образом, sinc-функция аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная sinc-функция обладает следующими свойствами:

• $\mathrm{sinc}(0) = 1\,$ и $\mathrm{sinc}(k) = 0\,$ для $k\ne 0\,$ и $k\in\mathbb{Z}\,$ (целые числа); то есть, это интерполирующая функция
• функции $x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве $L^2(\R)$, с наибольшей круговой частотой $\omega_\mathrm{H}=\pi\,$.

• Локальные максимум и минимум ненормализованной sinc — функции, $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ совпадают со значениями косинуса, то есть там где производная $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ равна нулю (локальный экстремум в точке $x = a\,$), там выполняется условие $\begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,$.

• Ненормированная sinc-функция является сферической функцией Бесселя первого рода нулевого порядка, $j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$. Нормированная sinc-функция — $j_0(\pi x)\,$.

• Ненормированная sinc-функция обращается в ноль при значениях аргумента, кратных $\pi\,$; нормированная sinc-функция — $\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,$ при целых значениях аргумента.

• Непрерывное преобразование Фурье нормированной sinc-функции $\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции $\mathrm{rect}(f)\,$.

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)$,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значения, равные 1 для любого аргумента из интервала между −1/2 и 1/2, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение по степеням х:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$

• Выражение через гамма-функцию:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}$

где $\Gamma(x)$ — гамма-функция.

См. также

• Антиалиасинг
• Sinc-фильтр

pl:funkcja sinc