ФЭНДОМ


Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, и на нём определена случайная величина $ X $ с распределением $ \mathbb{P}^X $. Тогда функцией распределения случайной величины $ X $ называется функция $ F_X:\mathbb{R} \to [0,1] $, задаваемая формулой:

$ F_X(x) = \mathbb{P}( X \le x ) \equiv \mathbb{P}^X((-\infty, x] ) $.

Простейшие свойстваПравить

Взаимо-однозначное соответствие распределениюПравить

Очевидно, что распределение случайной величины $ \mathbb{P}^X $ однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция $ F(x) $ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $ F(x) $ является её функцией распределения.

Вычисление вероятностейПравить

Левый пределПравить

По определению непрерывности справа, функция $ F_X $ имеет правый предел $ F_X(x+) $ в любой точке $ x\in \mathbb{R} $, и он совпадает со значением функции $ F_X(x) $ в этой точке. В силу неубывания, функция $ F_X $ также имеет и левый предел $ F_X(x-) $ в любой точке $ x\in \mathbb{R} $, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $ F_X $ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Простейшие формулыПравить

Из свойств вероятности следует, что $ \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R} $, таких что $ a < b $:

  • $ \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x) $;
  • $ \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-) $;
  • $ \mathbb{P}(X \ge x ) = 1 - F_X(x-) $;
  • $ \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-) $;
  • $ \mathbb{P}(a < X \le b ) = F_X(b) - F_X(a) $;
  • $ \mathbb{P}(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a-) $;
  • $ \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a) $;
  • $ \mathbb{P}(a \le X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-) $.

Дискретные распределенияПравить

Если случайная величина $ X $ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$ \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots $,

то функция распределения $ F_X $ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$ F_X(x) = \sum\limits_{i: x_i \leq x} p_i $.

Эта функция непрерывна в любой точке $ x\in \mathbb{R} $, такой что $ x \not= x_i,\; \forall i $, и имеет разрыв, равный $ p_i $, в $ x = x_i $.

Непрерывные распределенияПравить

Распределение $ \mathbb{P}^X $ называется непрерывным, если такова его функция распределения $ F_X $. В этом случае:

$ \mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R} $,

и

$ F_X(x-) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} $,

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

$ \mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a) $,

где $ |a,b| $ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределенияПравить

Распределение $ \mathbb{P}^X $ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $ f_X(x) $, такая что:

$ F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)\, dt $.

Функция $ f_X $ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если $ f_X \in C(\mathbb{R}) $, то $ F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) $, и

$ \frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} $.

Многомерные функции распределенияПравить

Пусть $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ фиксированное вероятностное пространство, и $ X=(X_1,\ldots,X_n): \Omega \to \mathbb{R}^N $ - случайный вектор. Тогда распределение $ \mathbb{P}^X $ является вероятностной мерой на $ \mathbb{R}^n $. Функция этого распределения $ F_X: \mathbb{R}^n \to [0,1] $ задаётся по определению следующим образом:

$ F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \le x_1 ,\ldots, X_n \le x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) $,

где $ \prod $ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $ \mathbb{R}^n $ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $ n > 1 $.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Функция распределения русской Википедии.