Викия

Математика

Функция распределения

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция F_X:\mathbb{R} \to [0,1], задаваемая формулой:

F_X(x) = \mathbb{P}( X \le x ) \equiv \mathbb{P}^X((-\infty, x] ).

Простейшие свойстваПравить

Взаимо-однозначное соответствие распределениюПравить

Очевидно, что распределение случайной величины \mathbb{P}^X однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.

Вычисление вероятностейПравить

Левый пределПравить

По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x+) в любой точке x\in \mathbb{R}, и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке. В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x-) в любой точке x\in \mathbb{R}, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Простейшие формулыПравить

Из свойств вероятности следует, что \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a < b:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \ge x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \le b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \le X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-).

Дискретные распределенияПравить

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots,

то функция распределения F_X этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

F_X(x) = \sum\limits_{i: x_i \leq x} p_i.

Эта функция непрерывна в любой точке x\in \mathbb{R}, такой что x \not= x_i,\; \forall i, и имеет разрыв, равный p_i, в x = x_i.

Непрерывные распределенияПравить

Распределение \mathbb{P}^X называется непрерывным, если такова его функция распределения F_X. В этом случае:

\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R},

и

F_X(x-) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R},

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a),

где |a,b| означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределенияПравить

Распределение \mathbb{P}^X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция f_X(x), такая что:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)\, dt.

Функция f_X называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если f_X \in C(\mathbb{R}), то F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), и

\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}.

Многомерные функции распределенияПравить

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) фиксированное вероятностное пространство, и X=(X_1,\ldots,X_n): \Omega \to \mathbb{R}^N - случайный вектор. Тогда распределение \mathbb{P}^X является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n. Функция этого распределения F_X: \mathbb{R}^n \to [0,1] задаётся по определению следующим образом:

F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \le x_1 ,\ldots, X_n \le x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right),

где \prod в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на \mathbb{R}^n и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Функция распределения русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики