Функция распределения

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Взаимо-однозначное соответствие распределению 4 Вычисление вероятностей 4.1 Левый предел 4.2 Простейшие формулы 5 Дискретные распределения 6 Непрерывные распределения 7 Абсолютно непрерывные распределения 8 Многомерные функции распределения 9 См. также

[править] Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

[править] Простейшие свойства

• не убывает на всей числовой прямой.
• непрерывна справа.
• .
• .

[править] Взаимо-однозначное соответствие распределению

Очевидно, что распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.

[править] Вычисление вероятностей

[править] Левый предел

По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке. В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

[править] Простейшие формулы

Из свойств вероятности следует, что , таких что :

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

[править] Дискретные распределения

Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный , в .

[править] Непрерывные распределения

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если , то , и

.

[править] Многомерные функции распределения

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и - случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

[править] См. также

• Плотность вероятности.

Эта статья содержит материал из статьи Функция распределения русской Википедии.