Функция вероятности

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискре́тное распределение.

Определения[]

Функция произвольной вероятности[]

Пусть $\mathbb{P}$ является вероятностной мерой на $\R^n$ , то есть определено вероятностное пространство $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ обозначает борелевскую σ-алгебру на $\R^n$ .

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb{P}$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ такое, что $\mathbb{P}(X) = 1$ .

Определение 2. Функция $p:\mathbb{R}^n \to [0,1]$ , определённая следующим образом:

{\displaystyle p(x) = \left\{ \begin{matrix} \mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\ 0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X \end{matrix} \right.}

называется функцией вероятности $\mathbb{P}$ .

Функция вероятности случайной величины[]

Определение 3. Пусть $X:\Omega \to \mathbb{R}^n$ — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру $\mathbb{P}^X$ на $\R^n$ , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_X$ случайной величины $X$ имеет вид:

p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x)

.

или короче

p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N}

,

где $X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}$ .

Свойства функции вероятности[]

Из свойств вероятности очевидно следует:

$p_X(x_i) \ge 0,\; \forall i \in \mathbb{N}$ .
$\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1$ .
Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

F_X(x) = \sum\limits_{x' \le x}p_X(x')

.

Если $X = (X_1,X_2)$ , то

\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1)

,

\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2)

,

где $p_{X_1,X_2}$ — функция вероятности вектора $(X_1,X_2)$ , а $p_{X_i}$ — функция вероятности величины $X_i,\; i=1,2$ . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$ .