Викия

Математика

Функция вероятности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискре́тное распределение.

Определения Править

Функция произвольной вероятности Править

Пусть \mathbb{P} является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n, то есть определено вероятностное пространство \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right), где \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) обозначает борелевскую σ-алгебру на \mathbb{R}^n.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель \mathbb{P} не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество X \subset \mathbb{R}^n такое, что \mathbb{P}(X) = 1.

Определение 2. Функция p:\mathbb{R}^n \to [0,1], определённая следующим образом:

p(x) = \left\{
\begin{matrix}
\mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\
0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X 
\end{matrix}
\right.

называется функцией вероятности \mathbb{P}.

Функция вероятности случайной величины Править

Определение 3. Пусть X:\Omega \to \mathbb{R}^nслучайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R}^n, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности p_X случайной величины X имеет вид:

p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x).

или короче

p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N},

где X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}.

Свойства функции вероятности Править

Из свойств вероятности очевидно следует:

F_X(x) = \sum\limits_{x' \le x}p_X(x').
  • Если X = (X_1,X_2), то
\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1),
\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2),

где p_{X_1,X_2} — функция вероятности вектора (X_1,X_2), а p_{X_i} — функция вероятности величины X_i,\; i=1,2. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности n>2.

\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений Править

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики