ФЭНДОМ


Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискре́тное распределение.

Определения Править

Функция произвольной вероятности Править

Пусть $ \mathbb{P} $ является вероятностной мерой на $ \mathbb{R}^n $, то есть определено вероятностное пространство $ \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right) $, где $ \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) $ обозначает борелевскую σ-алгебру на $ \mathbb{R}^n $.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $ \mathbb{P} $ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $ X \subset \mathbb{R}^n $ такое, что $ \mathbb{P}(X) = 1 $.

Определение 2. Функция $ p:\mathbb{R}^n \to [0,1] $, определённая следующим образом:

$ p(x) = \left\{ \begin{matrix} \mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\ 0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X \end{matrix} \right. $

называется функцией вероятности $ \mathbb{P} $.

Функция вероятности случайной величины Править

Определение 3. Пусть $ X:\Omega \to \mathbb{R}^n $случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру $ \mathbb{P}^X $ на $ \mathbb{R}^n $, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $ p_X $ случайной величины $ X $ имеет вид:

$ p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x) $.

или короче

$ p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N} $,

где $ X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n} $.

Свойства функции вероятности Править

Из свойств вероятности очевидно следует:

  • $ p_X(x_i) \ge 0,\; \forall i \in \mathbb{N} $.
  • $ \sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1 $.
  • Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
$ F_X(x) = \sum\limits_{x' \le x}p_X(x') $.
  • Если $ X = (X_1,X_2) $, то
$ \sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1) $,
$ \sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2) $,

где $ p_{X_1,X_2} $ — функция вероятности вектора $ (X_1,X_2) $, а $ p_{X_i} $ — функция вероятности величины $ X_i,\; i=1,2 $. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $ n>2 $.

$ \mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i $,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений Править

См. также Править