Викия

Математика

Функция Хевисайда

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:Dirac distribution CDF.svg

Функция Хевисайда, единичная функция, ступенька положения — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле (H(0)).

Функция широко используется в математическом аппарате теории управления и обработке сигналов для представления сигналов, включающихся в определённый момент и остающихся включёнными постоянно. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, H' = \delta, это также можно записать как:

 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t

хотя это выражение не является математически точным.

Дискретная форма Править

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от дискретного аргумента n:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

где n — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

 \delta[n] = H[n] - H[n-1]

Аналитические формы Править

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}},

где более большой k соответствует более крутому подъёму функции в точке x=0. Если принять H(0) = 1/2, уравнение можно записать в предельной форме:

H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \
H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \

Запись Править

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau

H(0) Править

Значение функции в нуле может быть задано как H(0) = 0, H(0) = 1/2 или H(0) = 1. H(0) = 1/2 — наиболее часто встречающийся случай, ввиду возрастания симметрии функции и связи её с функцие знака:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
 H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

 H_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ n, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

См. также Править

da:Heaviside trinfunktionhe:פונקציית מדרגה hu:Heaviside-függvénylmo:Funziú basel nl:Heaviside-functie pl:Funkcja skokowa Heaviside'asr:Хевисајдова одскочна функција su:Heaviside step function

Викия-сеть

Случайная вики