Функция Мёбиуса

Шаблон:К объединению Функция Мёбиуса $\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831г.

Определение

Файл:Gmf 001.png

График функции Мёбиуса $\mu(n)\, ; n=1\cdots1000$

μ(n) определена для всех положительных натуральных чисел n и принимает значения {-1, 0, 1} в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

• μ(n) = 1 если n не делится на квадрат простого числа и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• μ(n) = −1 если n не делится на квадрат простого числа и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• μ(n) = 0 если n делится на квадрат простого числа.

Принято считать что μ(1) = 1.

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(ab) = μ(a)μ(b).

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

$\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1,&n=1\\ 0,&n>1\end{matrix}\right.$

Из этого в частности следует что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

bg:Функция на Мьобиус gl:Función de Möbius he:פונקציית מביוס hu:Möbius-függvény pl:Funkcja Möbiusa sl:Möbiusova funkcija sv:Möbiusfunktionen zh-classical:默比烏斯函數