Викия

Математика

Функция Мёбиуса

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:К объединению Функция Мёбиуса \mu(n)мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831г.

ОпределениеПравить

Файл:Gmf 001.png

μ(n) определена для всех положительных натуральных чисел n и принимает значения {-1, 0, 1} в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

  • μ(n) = 1 если n не делится на квадрат простого числа и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • μ(n) = −1 если n не делится на квадрат простого числа и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • μ(n) = 0 если n делится на квадрат простого числа.

Принято считать что μ(1) = 1.

Свойства и приложенияПравить

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(ab) = μ(a)μ(b).

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1,&n=1\\
0,&n>1\end{matrix}\right.

Из этого в частности следует что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.


bg:Функция на Мьобиусgl:Función de Möbius he:פונקציית מביוס hu:Möbius-függvénypl:Funkcja Möbiusasl:Möbiusova funkcija sv:Möbiusfunktionenzh-classical:默比烏斯函數

Викия-сеть

Случайная вики