Викия

Математика

Функция Гудермана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Сирота

Файл:Gudermannian.png

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (17981852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

\operatorname{gd}(x)\, =\int_0^x\frac{dt}{\operatorname{ch}\,t}
=2\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{th}\frac{x}{2}\right)
=2\,\operatorname{arctg}\,e^x-{\pi\over2}.

При этом

\operatorname{th}\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\frac{\operatorname{gd}(x)}{2}.

Имеют место также следующие тождества:

\operatorname{sh}(x)=\operatorname{tg}(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{ch}(x)=\sec(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{th}(x)=\sin(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{sch}(x)=\cos(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{csch}(x)=\operatorname{ctg}(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{cth}(x)=\operatorname{cosec}(\operatorname{gd}(x))\

Обратная функция к функции Гудермана

\operatorname{arcgd}(x) ={\operatorname{gd}}^{-1}(x)=\int_0^x \frac{dt}{\cos t}\,
=\operatorname{arsh}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)\,
=\ln\bigl(\sec(x)(1+\sin(x))\bigr)\,
=\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\,
=\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).\,

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана:

{d \over dx}\,\operatorname{gd}(x)=\operatorname{sch}(x),
{d \over dx}\,\operatorname{arcgd}(x)=\sec(x).

См. такжеПравить

Внешние ссылкиПравить

pl:Funkcja Gudermanna

Викия-сеть

Случайная вики