Викия

Математика

Функция Грина

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Translate-stub

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x_0, является решением уравнения (Lf)(x)=\delta(x-x_0), где \deltaдельта-функция Дирака. Если ядро оператора L нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L.

Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (Шаблон:Lang-en), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.

Основание Править

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма—Лиувилля. Пусть g — функция Грина оператора L, тогда решение f уравнения Lf=h задаётся так:

f(x)=\int{h(s)g(x,\;s)\,ds}.

Это можно считать разложением h по базису из дельта-функций Дирака.

Применения функции Грина Править

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Исходные данные Править

Пусть Lоператор Штурма—Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]+q(x)

и пусть D — оператор краевых условий

Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.

Пусть f(x)непрерывная функция на промежутке [0,\;1]. Предположим также, что задача

\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Править

Тогда существует единственное решение u(x), удовлетворяющее системе

\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}

которое задаётся выражением

u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds,

где g(x,\;s) — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

  1. g(x,\;s) непрерывна по x и s.
  2. Для x\ne s, Lg(x,\;s)=0.
  3. Для s\ne 0,\;l, Dg(x,\;s)=0.
  4. Скачок производной: g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s).
  5. Симметрична: g(x,\;s)=g(s,\;x).

Нахождение функции Грина Править

Разложение Править

Если множество собственных векторов дифференциального оператора L\Psi_n(x) (то есть набор функций \Psi_n(x) и скаляров \lambda_n таких, что L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора \Psi_n(x):

\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime).

Можно показать, что

G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}.

Действительно, подействовав оператором L на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

Функция Грина для лапласиана Править

Пример Править

Дана задача

\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x);
Du=u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

g(x,\;s)=c_1(s)\cdot\cos x+c_2(s)\cdot\sin x.

Для x<s из 3-го условия c_1(s)=0, в то же время для x>s выполняется c_2(s)=0.

В итоге:

g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} 
a(s)\sin x,\;\;x<s \\
b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.

Второй шаг:

Нужно определить a(s) и b(s).

По 1-му условию

a(s)\sin s=b(s)\cos s.

Используя 4-ое условие, получим:

b(s)\cdot[-\sin s]-a(s)\cdot\cos s=\frac{1}{1}.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для a(s) и b(s), получим, что

a(s)=-\cos s;\quad b(s)=-\sin s.

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix}
-1\cdot\cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\
-1\cdot\sin s\cdot\cos x,\;\;s<x 
\end{matrix}\right.

Другие примеры Править

  • Пусть дано многообразие \mathbb R и оператор L равен d/dx. Тогда функция Хевисайда H(x-x_0) является функцией Грина для L при x_0.
  • Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости { (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0} и L — оператор Лапласа. Также предположим, что при x=0 наложены краевые условия Дирихле, при y=0 — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид
G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+
+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].

См. также Править

Литература Править

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-ая глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9


Викия-сеть

Случайная вики