Функция (математика)

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

У этого термина существуют и другие значения, см. функция.

Отображе́ние или фу́нкция ( лат. functio — «исполнение, осуществление») — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Содержание 1 Функция как отображение 1.1 Способы задания функции 1.1.1 Словесный 1.1.2 Аналитический 1.1.3 Графический 1.1.4 Табличный 1.2 Формальное определение 1.2.1 Дополнение к формальному определению 2 Смежные понятия 2.1 Сужение 2.2 Образ множества 2.3 Прообраз 2.4 Полный прообраз элемента 2.5 Полный прообраз множества 2.6 Свойства прообразов и образов 2.7 График 3 Исторический очерк 4 Примечания 5 См. также 6 Литература

[править] Функция как отображение

Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

Определение. Пусть и — два множества. Закон , согласно которому каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент , называется отображением множества в множество или функцией, заданной на со значениями в .

Отображения обозначают так:

• или для отображения , множества в множество .
• или или .

При этом:

• Множество тогда называется о́бластью определе́ния отображения (обозначается D(f) или D(x).).
• Множество — о́бластью значе́ний отображения .(обозначается E(f) или E(y).
• Элемент называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
• Элемент — значе́нием или зави́симой переме́нной.

Функции считаются равными, если у них одинаковые области определения и значений и если они определяются одним правилом. Например, все три следующие функции различны:

• ,
•     ,
•       ,

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств и . Если и — числовые множества, такие, как или , то отображение называют функцией. Если или многомерны, например, или , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если — произвольной природы, а — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

[править] Способы задания функции

[править] Словесный

игрек равно целая часть от х. ()

[править] Аналитический

[править] Графический

С помощью графика.

[править] Табличный

Функция задается таблицей значений.

[править] Формальное определение

То, что приведено выше, не может считаться формальным математическим определением, по сути в нём понятие «функция» подменено словом «закон». Некоторые авторы считают функцию основным понятием, то есть в определении не нуждающимся, но чаще всего формальные определения функции строится на основе теории множеств:

Пусть даны два множества и . Отображение множества в множество есть подмножество , такое, что для любого существует единственный элемент , такой, что . Здесь обозначает прямое произведение множеств и .

[править] Дополнение к формальному определению

Подобное определение, однако, исключает определение неоднозначных функций, применяемых в математике (особенно в исчислении функций комплексного переменного).

Пусть даны множества и , тогда упорядоченное множество всех пар называется функцией одного аргумента тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что .

Фактически это означает, что изменение значения функции может произойти только вследствие изменения её аргумента.

Это же определение легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества и множество , тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией аргументов тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что ^[1].

[править] Смежные понятия

[править] Сужение

Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции на называется функция , определяемая равенством

.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

[править] Образ множества

Пусть . Тогда о́бразом множества называется подмножество , определяемое равенством

.

Множество называется образом отображения .

[править] Прообраз

Пусть задано отображение , и . Тогда называется проо́бразом , а называется о́бразом . Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция , где . Тогда

• не имеет прообразов;
• имеет единственный прообраз ;
• имеет два прообраза: и .

[править] Полный прообраз элемента

Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента . Полный прообраз обозначается .

Пример. Пусть , и . Тогда

.

[править] Полный прообраз множества

Пусть . Тогда проо́бразом множества называется подмножество , определяемое равенством

.

Пример. Пусть , и . Тогда

• ,
• .

[править] Свойства прообразов и образов

• ;
• ;
• ;
• . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

[править] График

Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком называется множество

,

где обозначает декартово произведение множеств и .

• График непрерывной функции является кривой на двумерной плоскости.
• Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

[править] Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям , содержащимся между и какой-либо величиной ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от называть число, которое даётся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

[править] Примечания

1. ↑ Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1. М.: Высшая школа,1981. с. 8.

[править] См. также

• Композиция функций
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность
• Непрерывность
• Дифференцируемость
• Гладкость
• Выпуклость
• Рациональность
• Среднее значение функции

Различные классы функций:

• Интегрируемые функции
• Интегрируемые по Лебегу функции
• Равномерно непрерывные функции
• Целые функции

[править] Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
• Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
• Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
• История математики, т.2-3, М., 1970-72.
• Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

Эта статья содержит материал из статьи Функция (математика) русской Википедии.