Викия

Математика

Функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Отображе́ние или фу́нкция ( лат. functio — «исполнение, осуществление») — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Отображение функции. Править

Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

Определение. Пусть X и Y — два множества. Закон F, согласно которому каждому элементу x \in X поставлен в соответствие единственный элемент y \in Y, называется отображением множества X в множество Y или функцией, заданной на X со значениями в Y.

Отображения обозначают так:

  • F:\ X \to Y или X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y для отображения F, множества X в множество Y.
  • y=F(x) или F:x \mapsto y или x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y.

При этом:

  • Множество X тогда называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(f) или D(x).).
  • Множество Yо́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(f) или E(y).
  • Элемент x называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
  • Элемент y=F(x)значе́нием или зави́симой переме́нной.

Функции считаются равными, если у них одинаковые области определения и значений и если они определяются одним правилом. Например, все три следующие функции различны:

  • F: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, F(x)=x
  • F: \mathbb{R}    \to \mathbb{R}_+, F(x)=|x|
  • F: \mathbb{R}    \to \mathbb{R}  , F(x)=|x|


При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как \mathbb{R} или \mathbb{C}, то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Способы задания функции Править

Словесный Править

игрек равно целая часть от х. (~f(x)=[x])

Аналитический Править

~f(x)=x!

Графический Править

С помощью графика.

Таблицы Править

Функция задается таблицей значений. Например:

X 0 1 2 3
Y 0 1 8 27

Интуитивно можно догадаться, что y = x3.

Смежные понятия Править

Сужение функции. Править

Пусть дано отображение F:X \to Y, и M \subset X. Тогда суже́нием функции F на M называется функция \left.F\right\vert_{M}, определяемая равенством

\left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Образ множества Править

Пусть M \subset X. Тогда о́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством

F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}.

Множество F(X) называется образом отображения F.

Прообраз Править

Пусть задано отображение F:X \to Y, x\in X, \;y\in Y и y=F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент x\in X должен иметь ровно один образ, но элемент y\in Y может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, где F(x) = x^2. Тогда

  • y = -1 не имеет прообразов;
  • y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
  • y = 1 имеет два прообраза: x_1 = 1 и x_2 = -1.

Полный прообраз элемента Править

Пусть задано отображение F:X \to Y, и y \in Y. Тогда множество \{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F^{-1}(y).

Пример. Пусть F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = \sin x. Тогда

F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.

Полный прообраз множества Править

Пусть N \subset Y. Тогда проо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством

F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}.

Пример. Пусть F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = \cos x. Тогда

  • F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1],
  • F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right].

Свойства прообразов и образов Править

  • F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y;

График Править

Файл:Cubicpoly.svg

Пусть дано отображение F: X \to Y. Тогда его гра́фиком \Gamma называется множество

\Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y,

где X \times Y обозначает декартово произведение множеств X и Y.

  • График непрерывной функции F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} является кривой на двумерной плоскости.
  • Графиком непрерывной функции F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} является поверхность в трёхмерном пространстве.

Исторический очерк Править

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (17971802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция fx обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной x». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

Примечания Править


См. также Править

Различные классы функций:

Литература Править

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
  • Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
  • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
  • История математики, т.2-3, М., 1970-72.
  • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

Эта статья содержит материал из статьи Функция русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики