Викия

Математика

Функциональный анализ

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Функциональный анализ — это раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например - пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как оператор и функционал.

История Править

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внес польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики, как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результатыПравить

  • Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
  • Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых простраствах.
  • Теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору. Как её следствие - теорема о замкнутом графике.
  • Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна) дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.

Направление исследованийПравить

Функцианальный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

  • Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
  • Геометрия Банаховых пространств. Комбинаторный подход первоначально предложеный Джин Бургейн (Jean Bourgain).
  • Некоммутативная геометрия. Разработанная Алэном Конном (Alain Connes), частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
  • Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолковонное более общё, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.

Литература Править

А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972
Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. Элементы функционального анализа
У. Рудин. «Функциональный анализ»
Стефан Банах. «Теория линейных операций»
Б. Саймон. «Методы современной математической физики - Функциональный анализ (том 1)»
И. П. Натансон "Теория функций вещественной переменной"


cs:Funkcionální analýzafa:آنالیز تابعیgl:Análise Funcional

he:אנליזה פונקציונליתka:ფუნქციონალური ანალიზი nl:Functionaalanalyse pl:Analiza funkcjonalna pms:Anàlisi fonsionalsv:Funktionalanalys uk:Функціональний аналіз vi:Giải tích hàm

Викия-сеть

Случайная вики