Викия

Математика

Формулы Виета

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.


ФормулировкаПравить

Если \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} — корни многочлена

x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты a_1, \ldots, a_n выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

\begin{matrix}
a_1 &=& -(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n) \\ 
a_2 &=& \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \ldots + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1} \alpha_n \\ 
a_3 &=& -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n}) \\ 
 & &\ldots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-2} \alpha_n + \ldots + \alpha_2 \alpha_3...\alpha_n) \\
a_n &=& (-1)^n \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \end{matrix}.

Иначе говоря (-1)^ka_k равено сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена a_0 \ne 1, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a_0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формула Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

ПримерыПравить

Квадратное уравнение Править

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Или

Если

x_1 и x_2 – корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 , то
x_1+x_2=\frac{-b}{a} и x_1x_2= \frac{c}{a}.

В частном случае, если a=1 (приведенная форма x^2+px+q=0), то

x_1+x_2=-p и x_1x_2=q.

Кубическое уравнениеПравить

при n = 3:

\begin{matrix}a_1 &=& - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) \\ a_2 &=& \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_3 \\ a_3 &=& -\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3\end{matrix}.


См. также Править

vi:Định lý Viète

Викия-сеть

Случайная вики