Характеристическая функция случайной величины

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Содержание 1 Определение 2 Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины 3 Cвойства характеристических функций 4 Вычисление моментов 5 Формулы обращения 6 См. также

[править] Определение

Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве , то её характеристическая функция имеет вид:

,

где обозначает скалярное произведение в .

[править] Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина дискретна, то есть , то

.

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда

.

Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

.

[править] Cвойства характеристических функций

• Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
• Характеристическая функция всегда ограничена:

.

• Характеристическая функция в нуле равна единице:

.

• Характеристическая функция всегда непрерывна: .
• Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

.

• Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда

.

[править] Вычисление моментов

Если случайная величина имеет конечный -ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную -ю производную, то есть , и более того:

.

[править] Формулы обращения

• Пусть дана случайная величина , с функцией распределения и характеристической функцией . Пусть даны две точки такие, что и в них непрерывна, то есть Тогда

• Если кроме того дискретна и принимает целые значения, то

• Если интегрируема на всей числовой прямой, то распределение случайной величины абсолютно непрерывно, и её плотность имеет вид

.

[править] См. также

• Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).

Эта статья содержит материал из статьи Характеристическая функция случайной величины русской Википедии.