Формула Остроградского

Формула Остроградского — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между $n$-кратным интегралом по области и $(n-1)$-кратным интегралом по её границе. Пусть $V=(v_1,v_2,...,v_n)$ есть векторное поле на $\R^n$, такое что функции $v_i$ вместе со своими частными производными $\partial v_i/ \partial x_j$ интегрируемы по Лебегу в ограниченной области $\Omega$, граница $\partial\Omega$ которой является объединением конечного множества кусочно гладких $(n-1)$-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали $\nu$. Тогда формула Остроградского имеет вид

$\int_\Omega \operatorname{div} V=\int_{\partial \Omega}\langle\nu,V\rangle$

где

$\operatorname{div} V=\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_i}{\partial x_i}$

есть дивергенция поля $V$.

Иначе говоря, интеграл дивергенции поля по области равен его потоку сквозь границу области.

История

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На $n$-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла. При $n = 3$ для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813 , поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература

• Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1'Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1'Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)

ca:Teorema de la divergència cs:Gaussova věta he:משפט גאוס lmo:Teurema da la divergenza nl:Divergentiestelling pl:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa sk:Gaussova veta sv:Gauss sats vi:Định lý Gauss