Викия

Математика

Формула Остроградского

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Формула Остроградского — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области и (n-1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V=(v_1,v_2,...,v_n) есть векторное поле на \mathbb{R}^n, такое что функции v_i вместе со своими частными производными \partial v_i/ \partial x_j интегрируемы по Лебегу в ограниченной области \Omega, граница \partial\Omega которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали \nu. Тогда формула Остроградского имеет вид

\int_\Omega \operatorname{div} V=\int_{\partial \Omega}\langle\nu,V\rangle

где

\operatorname{div} V=\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_i}{\partial x_i}

есть дивергенция поля V.

Иначе говоря, интеграл дивергенции поля по области равен его потоку сквозь границу области.

ИсторияПравить

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На n-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n=3 для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813 , поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература Править

  • Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1'Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1'Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)ca:Teorema de la divergència

cs:Gaussova větahe:משפט גאוסlmo:Teurema da la divergenza nl:Divergentiestelling pl:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussask:Gaussova veta sv:Gauss sats vi:Định lý Gauss

Викия-сеть

Случайная вики