Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней кубического уравнения вида

$y^3+py+q=0$

над полем комплексных чисел. К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

при помощи следующей замены:

$x=y-b/3a$

$p=-b^2/(3a^2)+c/a$

$q=(2b^3)/(27a^3)-bc/(3a^2)+d/a$

Формула

Формула Кардано имеет вид:

$x=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

где

$\Delta=-27q^2-4p^3$

есть дискриминант многочлена $x^3+px+q$. Применять эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

$\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

брать то значение корня

$\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},$

для которого выполняется условие $\alpha\beta=-p/3$ (такое значение корня $\beta$ всегда существует).

Если alpha=const, почему тут сказано, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

$\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

брать то значение корня

$\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},$

? у alpha и у beta нет 3х значений, они не изменяются, а у находится как a+b, -(а+b)/2+(j/3^1/3)(а-b)/2, -(а+b)/2-(j/3^1/3)(а-b)/2

Вывод формулы

Формулу можно получить, если предположить, что значение корня представляется в виде суммы двух величин $x=\alpha+\beta$. Тогда, раскрывая скобки, получаем:

$\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0$

Основная идея — приравнять к нулю выражение $3\alpha\beta+p$. Тогда мы приходим к системе

$\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$,

которая равносильна системе

$\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней $\alpha^3$ и $\beta^3$ квадратного уравнения.

История

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значения, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано. hu:Casus irreducibilis uk:Формула Кардано