Викия

Математика

Формула Кардано

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Формула Кардано — формула для нахождения корней кубического уравнения вида

y^3+py+q=0

над полем комплексных чисел. К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение

ax^3+bx^2+cx+d=0

при помощи следующей замены:

x=y-b/3a
p=-b^2/(3a^2)+c/a
q=(2b^3)/(27a^3)-bc/(3a^2)+d/a

Формула Править

Формула Кардано имеет вид:

x=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}

где

\Delta=-27q^2-4p^3

есть дискриминант многочлена x^3+px+q. Применять эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}

брать то значение корня

\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},

для которого выполняется условие \alpha\beta=-p/3 (такое значение корня \beta всегда существует).

Если alpha=const, почему тут сказано, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}

брать то значение корня

\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},

? у alpha и у beta нет 3х значений, они не изменяются, а у находится как a+b, -(а+b)/2+(j/3^1/3)(а-b)/2, -(а+b)/2-(j/3^1/3)(а-b)/2

Вывод формулыПравить

Формулу можно получить, если предположить, что значение корня представляется в виде суммы двух величин x=\alpha+\beta, тогда, раскрывая скобки, получаем:

\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0

Основная идея — приравнять к нулю выражение 3\alpha\beta+p. Тогда мы приходим к системе

\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right., Править

которая равносильна системе

\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней \alpha^3 и \beta^3 квадратного уравнения.

ИсторияПравить

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значения, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.hu:Casus irreducibilis uk:Формула Кардано

Викия-сеть

Случайная вики