Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
По определению полагают . Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.
Свойства
Комбинаторное определение
ЖВ комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Связь с гамма-функцией
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки.
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для высления факториала:
см. O-большое. Числители и знаменатели коэффициентов разложения в степенной ряд см.
последовательность A001163 в OEIS
последовательность A001164 в OEIS
Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Разложение на простые числа
Каждое простое число входит в разложение на простые в степени
Таким образом,
- , где произведение берется по всем простым числам.
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех чётных (если n чётно) или нечётных (если n нечётно) натуральных чисел до n включительно. Таким образом,
По определению полагают .
Праймориал или примориал
Примориал (Шаблон:Lang-en) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,
Первые 15 праймориалов: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.
Суперфакториал
Суперфакториал числа n определяется как произведение факториалов всех целых чисел от 1 до n включительно.
Обратный факториал
Обратный факториал n!? числа n! определяется как частное факториала на все натуральные числа от 1 до n-1 включительно, т.е. n = n!?
Связь с инфолиофакториалом. Обратный факториал связан с инфолиофакториалом, который для любого нецелого положительного числа отличается от Гамма-функции и позволяет определить дробную часть обратного факториала от произвольного положительного целочисленного аргумента путем решения соответствующего квадратного уравнения.
Таким образом, инфолиофакториал, как и Гамма-функция Г(х) может рассматриватьcя как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.
Субфакториал
Субфакториал определяется как количество перестановок множества из различных элементов, что ни один элемент не попадает на своё место.
См. также
- Факторион
- Примеры реализации функции факториал
ar:عاملي
bg:Факториел
bs:Faktorijel
ca:Factorial
cs:Faktoriál
da:Fakultet (matematik)
eo:Faktorialo
et:Faktoriaal
eu:Faktorial
fa:فاکتوریل
gl:Factorial
he:עצרת
hu:Faktoriális
id:Faktorial
io:Faktorialo
is:Aðfeldi
lmo:Faturiaal
lt:Faktorialas
lv:Faktoriāls
nl:Faculteit (wiskunde)
no:Fakultet (matematikk)
pl:Silnia
scn:Fatturiali
simple:Factorial
sk:Faktoriál
sl:Fakulteta (funkcija)
sr:Факторијел
sv:Fakultet (matematik)
th:แฟกทอเรียล
uk:Факторіал
ur:Factorial
vi:Giai thừa