Wikia

Математика

Факториал

Обсуждение0
1416статей на этой вики

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

n! = 1\cdot 2\cdots n =\prod_{i=1}^n i.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

СвойстваПравить

Комбинаторное определениеПравить

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функциейПравить

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = \Gamma(n+1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки.

Формула СтирлингаПравить

Формула Стирлингаасимптотическая формула для вычисления факториала:

n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right),

см. O-большое. Числители и знаменатели коэффициентов разложения в степенной ряд см.
последовательность A001163 в OEIS
последовательность A001164 в OEIS

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

При этом можно утверждать, что

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}

Разложение на простые числаПравить

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots

Таким образом,

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots}, где произведение берется по всем простым числам.

ОбобщенияПравить

Двойной факториалПравить

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех чётных (если n чётно) или нечётных (если n нечётно) натуральных чисел до n включительно. Таким образом,

(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k k!
(2k+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} 2i+1 = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}

По определению полагают 0!! = 1.

Праймориал или примориал Править

Примориал (Шаблон:Lang-en) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

11\# = 12\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310

Первые 15 праймориалов: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.


СуперфакториалПравить

Суперфакториал числа n определяется как произведение факториалов всех целых чисел от 1 до n включительно.

Обратный факториалПравить

Обратный факториал n!? числа n! определяется как частное факториала на все натуральные числа от 1 до n-1 включительно, т.е. n = n!?

Связь с инфолиофакториалом. Обратный факториал связан с инфолиофакториалом, который для любого нецелого положительного числа отличается от Гамма-функции и позволяет определить дробную часть обратного факториала от произвольного положительного целочисленного аргумента путем решения соответствующего квадратного уравнения.

Таким образом, инфолиофакториал, как и Гамма-функция Г(х) может рассматриватьcя как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Субфакториал Править

Субфакториал !n\! определяется как количество перестановок множества из \!n различных элементов, что ни один элемент не попадает на своё место.

См. также Править


ar:عاملي bg:Факториел bs:Faktorijel ca:Factorial cs:Faktoriál da:Fakultet (matematik)eo:Faktorialoet:Faktoriaal eu:Faktorial fa:فاکتوریلgl:Factorial he:עצרת hu:Faktoriális id:Faktorial io:Faktorialo is:Aðfeldilmo:Faturiaal lt:Faktorialas lv:Faktoriāls nl:Faculteit (wiskunde) no:Fakultet (matematikk) pl:Silniascn:Fatturiali simple:Factorial sk:Faktoriál sl:Fakulteta (funkcija) sr:Факторијел sv:Fakultet (matematik) th:แฟกทอเรียลuk:Факторіал ur:Factorial vi:Giai thừa zh:階乘

Викия-сеть

Случайная вики