Факторгруппа

Пусть $G$ — группа, и $H$ — её нормальная подгруппа , то есть для любого элемента $a \in G$ его правый и левый классы смежности совпадают:

$aH = Ha$

Тогда на классах смежности $H$ в $G$ можно ввести умножение:

$(aH)(bH)=abH$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $aH=a'H$ и $bH=b'H$ то $abH=a'b'H$. Оно определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой $G$ по $H$.

Факторгруппа обозначается $G/H$.

Свойства

Гомоморфный образ группы (До победы коммунизма) Изоморфен факторгруппе По ядру гомоморфизма

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\phi:G\to K$

$G / {\rm Ker} \phi \cong \phi (G)$,

т.е. фактор группы $G$ по ядру ${\rm Ker} \phi$ изоморфен её образу $\phi (G)$ в $K$.

• Отображение $a \mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G \to G/H$.
• Порядок $G/H$ равен индексу подгруппы $[G:H]$. В случае конечной группы $G$ он равен $|G|/|H|$.
• Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G/H$ будет обладать тем же свойством.
• $G/G$ изоморфна тривиальной группе ($\{ e \}$), $G/{e}$ изоморфна $G$.

Примеры

Пусть $G$ = $\mathbb{Z}$, $H$ = 2$\mathbb{Z}$, тогда $G/H$ изоморфна $\Z_2$.

Пусть G = UT_n (группа невырожденных верхних треугольних матриц), H = SUT_n (группа верхних унитреугольных матриц), тогда G/H изоморфна группе диагональных матриц.

См. также

Для других алгебраических структур, а также множеств, также определены понятия факторов: фактормножество, факторкольцо, факторалгебра, факторполе.

cs:Faktorová grupa he:חבורת מנה nl:Factorgroep pl:Grupa ilorazowa