Теорема Ролля

Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C\bigl([a,b]\bigr)$, и для любого $x\in(a,b)$ существует конечная или бесконечная производная $f'(x)$. Тогда если $f(a) = f(b)$, то

$\exists c\in (a,b)\quad f'(c) = 0.$

Следствия

• Многочлен $n$-ой степени $P_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n a_ix^i, \; x\in \mathbb{R}$ может иметь не более $n$ различных корней.
• Если многочлен второй степени $P_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n a_ix^i,\;a_n\neq 0,\; n \geq 2,\; x\in \mathbb{R}$ имеет ровно $n$ различных корней, то его производная $P_n'(x)$ имеет ровно $n-1$ корень...

См. также

• Теорема Лагранжа о среднем значении.