Определенный интеграл

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть $f(x)$ определена на $[a;b]$. Разобьём $[a;b]$на части с несколькими произвольными точками $a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{n} = b$. Тогда говорят, что произведено разбиение $R$ отрезка $[a ; b].$ Далее выберем произвольную точку $\xi_{i} \in [x_{i} ; x_{i+1}]$, $i=\overline{0,n-1}$,

Определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю $\lambda_{R}\rightarrow 0$, если он существует независимо от разбиения $R$ и выбора точек $\xi_i$, то есть

$\int\limits^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$

Если существует указанный предел, то функция $f(x)$ называется интегрируемой на $[a;b]$ по Риману.

Обозначения

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

• $a$ — нижний предел.
• $b$ — верхний предел.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $\Delta x_i$ — длина частичного отрезка.
• $\sigma_{R}$ — интегральная сумма от функции $f(x)$ на $[a;b]$ соответствующей разбиению $R$.
• $\lambda_{R}=\max_i{\Delta x_i}$ — максимальная длина част. отрезка.

Свойства

Если функция $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a;b]$, то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)\, dx$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x=a$ и $x = b$ и графиком функции $f(x)$.

Формула Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной:

Если $\textstyle f$ непрерывна на отрезке $\left [ a,b \right ]$ и $\textstyle \Phi$ — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: $\int\limits_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b$

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана-Стилтьеса
• Неопределённый интеграл
• Численное интегрирование

Шаблон:Rq