Квадратный корень

Квадратные корни из натуральных чисел до 25 включительно. В квадрат со стороною √2 вписана окружность.

Квадра́тный ко́рень из $\! a$ (корень 2-й степени, $\sqrt{a}$) — это решение уравнения: $x^2 = a$. Иначе говоря, квадратный корень из $\! a$ — число, дающее $\! a$ при возведении в квадрат. Операция вычисления значения $\sqrt{a}$ называется «извлечением квадратного корня» из числа $a$. Наиболее часто под $\!x$ и $\! a$ подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Пример для вещественных чисел: $\sqrt{9}=\pm 3,$ потому что ${(\pm 3)}^2=9.$ У квадратного корня существуют противоположные, т.е. отличающиеся знаком значения (в данном примере, положительное и отрицательное числа), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при $\! a \geqslant 0$ всегда неотрицательно (а на положительных $\! a$ — положительно; в примере это число 3

Квадратный корень из числа $\! a$ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\! a$, то есть решение уравнения $\! x^2=a$ относительно переменной $\!x$.

Рациональные числа

При натуральных $\! a$ уравнение $\! x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном $\! a$, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда когда и числитель и знаменатель числа $\! a$, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к наничивает точность приближения: $|\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}$, где $\! C$ зависит от . Верно и $\! r$то, что любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные (вещественные) числа

Теорема. Для любого положительного числа $a$ существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа $\! a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $\sqrt{a}$.

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля).Дичь из комплексного числа $\! a$ часто обозначают как $\sqrt{a}$, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

$-1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

$\! a=|a|e^{i\phi}$,

то (см. Формула Муавра)

$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2}$,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.Ты втираешь мне какую то дичь!

График функции $y=\sqrt x$

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции $\! x^\alpha$ с $\! \alpha=1/2$. Арифметический квадратный корень является гладким при $\! x>0$, в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $x \circ x = a$ и для других объектов: матриц, функций, операторов и т. п. В качестве операции $\circ$ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $(G,\cdot)$ — группоид и $a \in G$. Элемент $x \in G$ называется квадратным корнем из $\ a$ если $\ x \cdot x=a$.

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

$\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\!$ при $|x| \le 1$.

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

$1=1^2$

$1 + 3 = 2^2$

$1 + 3 + 5 = 3^2$

$\sum^n_{k=1}{(2k-1)}=n^2$

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

$9-1=8$

$8-3=5$

$5-5=0$

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Если требуется найти квадратный корень с точностью до нескольких знаков после запятой, то этот метод по-прежнему можно использовать, хотя он и становится очень затратным. Исходное число следует дополнить соответствующим количеством пар нулей, а результат потом соответствующее количество раз поделить на 10. Например, для вычисления корня из 2 с точностью до одного знака нужно исходное число дополнить одной парой нулей, получив 200. В процессе извлечения квадратного корня из 200 описанным методом будет произведено 14 действий вычитания, что после однократного деления на 10 даёт результат 1,4. Для получения корня из 2 с точностью до двух знаков (результат 1,41) потребуется фактически извлекать корень из 20000, что потребует уже 141 действия вычитания.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем $\sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем $\sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.$

Два и шесть используются потому, что $\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \,$ и $\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}$ (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

$|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}$

В частности, если $\! |AH| = 1$, а $\! |HC| = x$, то $|BH|=\sqrt{x}$

Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

$\begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases}$

тогда $\lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a}$

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
2. Найти $a$, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат $a+1$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $a$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $a^2=2^2=2 \cdot 2=4 < 6$, а $(a+1)^2=3^2=3 \cdot 3=9 > 6$).
3. Записать квадрат $a$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа $a$ и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число $b$. (На первом шаге примера это число просто есть $b=2 \cdot 20=40$, на втором $b=26 \cdot 20=520$).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем $c$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $c=296$, на втором $c=2096$). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое $a$, что $(b+a) \cdot a$ меньше или равно $c$, но $(b+(a+1)) \cdot (a+1)$ больше, чем $c$. Записать найденное $a$ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $a$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как $(40+6) \cdot 6=46 \cdot 6=276 < 296$, но $(40+7) \cdot 7=47 \cdot 7=329 > 296$) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число $(b+a) \cdot a$ под $c$. Провести вычитание столбиком числа $(b+a) \cdot a$ из $c$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

См. также

• Быстрый инверсный квадратный корень
• Вложенные радикалы
• День квадратного корня
• Итерационная формула Герона
• Квадратное уравнение
• Корень
• Кубический корень
• Теорема Абеля — Руффини

Ссылки

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм