Производная функции

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение

1. Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$ определена функция $f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$ Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется предел, если он существует,

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

• Производная функции в точке $x_0$ обозначается символами

$f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).$

Дифференцируемость

Производная $f'(x_0)$ функции $f$ в точке $x_0$, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

$\bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr).$

Для дифференцируемой в $x_0$ функции $f$ в окрестности $U(x_0)$ справедливо представление

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)$

Замечания

• Назовём $\Delta x = x - x_0$ приращением аргумента функции, а $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ приращением значения функции в точке $x_0.$ Тогда

  $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

• Пусть функция $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ имеет конечную производную в каждой точке $x_0 \in (a,b).$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

  $f':(a,b) \to \mathbb{R}.$

• Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $f$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Если функция $f:U(x_0) \to \mathbb{R}$ имеет конечную производную в точке$x_0,$ то в окрестности $U(x_0)$ её можно приблизить линейной функцией

$f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$

Функция $f_l$ называется касательной к $f$ в точке $x_0.$ Число $f'(x_0)$ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть $s=s(t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда $v(t_0)=s'(t_0)$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t_0.$ Вторая производная $a(t_0) = s''(t_0)$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t_0.$

Вообще производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ выражает скорость изменения функции в точке $x_0$, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y=f(x).$

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

$f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).$

Если функция $f$ дифференцируема в $x_0$, то производная первого порядка определяется соотношением

$f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).$

Пусть теперь производная $n$-го порядка $f^{(n)}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема. Тогда

$f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).$

Производные высших порядков обозначаются символами:

$f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.$

Когда $n$ мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

$f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\; f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x),$ etc.

Примеры

• Пусть $f(x) = x^2.$ Тогда

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.$

• Пусть $f(x) = |x|.$ Тогда если $x_0 \neq 0,$ то

$f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0,$

где $\operatorname{sgn}$ обозначает функцию знака. Если $x_0 = 0,$ то $f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,$ а следовательно $f'(x_0)$ не существует.

См. также

• Правила дифференцирования
• Первообразная
• Производная (обобщение)
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной

Литература

• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.