ФЭНДОМ


Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей - это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

ОпределениеПравить

Распределение $ \mathbb{P}^X $ cлучайной величины $ X $ называется устойчивым, если для любого $ n\in \mathbb{N} $ существуют такие константы $ a_n,b_n \in \mathbb{R} $, что распределение случайной величины $ a_nX+b_n $ совпадает с распределением суммы:

$ a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i} $,

где равенство понимается в смысле равенства распределений, а случайные величины $ Y_{n,i} $ распределены как $ X $, то есть $ X=Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n $.

ЗамечанияПравить

$ F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R} $,

где $ * $ обозначает свёртку.

$ \phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t} $.

Свойства устойчивых распределенийПравить

  • Случайная величина имеет устойчивое распределение тогда и только тогда, когда она является пределом по распределению линейных комбинаций сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Более точно, случайная величина $ X $ может быть пределом по распределению случайных величин вида $ \frac{S_n - b_n}{a_n} $, где
$ S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty} $ - независимые одинаково распределённые случайные величины,

тогда и только тогда, когда распределение $ X $ устойчиво.

  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
$ \ln \phi(t) = \left\{ \begin{matrix} it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\ 1, & t = 0. \end{matrix} \right., $

где $ 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, $ и

$ G(t,\alpha) = \left\{ \begin{matrix} \mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\ \frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1 \end{matrix} \right.. $

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Устойчивое распределение русской Википедии.