Викия

Математика

Устойчивое распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей - это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

ОпределениеПравить

Распределение \mathbb{P}^X cлучайной величины X называется устойчивым, если для любого n\in \mathbb{N} существуют такие константы a_n,b_n \in \mathbb{R}, что распределение случайной величины a_nX+b_n совпадает с распределением суммы:

a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i},

где равенство понимается в смысле равенства распределений, а случайные величины Y_{n,i} распределены как X, то есть X=Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n.

ЗамечанияПравить

F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R},

где * обозначает свёртку.

\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}.

Свойства устойчивых распределенийПравить

  • Случайная величина имеет устойчивое распределение тогда и только тогда, когда она является пределом по распределению линейных комбинаций сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Более точно, случайная величина X может быть пределом по распределению случайных величин вида \frac{S_n - b_n}{a_n}, где
S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty} - независимые одинаково распределённые случайные величины,

тогда и только тогда, когда распределение X устойчиво.

  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
\ln \phi(t) = \left\{
\begin{matrix}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\
1, & t = 0.
\end{matrix}
\right.,

где 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, и


G(t,\alpha) = \left\{
\begin{matrix}
\mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\
\frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1
\end{matrix}
\right..

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Устойчивое распределение русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики