Условное распределение
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей - это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Содержание |
[править] Определения
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство 
.
[править] Дискретные случайные величины
Пусть 
и 
- случайные величины, такие что случайный вектор 
имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности 
. Пусть 
такой, что 
. Тогда функция
,
где 
- функция вероятности случайной величины 
, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины 
при условии, что 
. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
[править] Абсолютно непрерывные случайные величины
Пусть и - случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности 
. Пусть таково, что 
, где 
- плотность случайной величины . Тогда функция
называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
[править] Свойства условных распределений
- Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
-
,
-
,
-
и
-
почти всюду на 
,
-
,
-
- Справедливы формулы полной вероятности:
-
,
-
.
-
- Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:
или
почти всюду на 
.
[править] Условные вероятности
[править] Дискретные случайные величины
Если 
- счётное подмножество , то
.
[править] Абсолютно непрерывные случайные величины
Если 
- борелевское подмножество , то полагаем по определению
.
Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как 
.
[править] Условные математические ожидания
[править] Дискретные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается суммированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание при условии случайной величины - это третья случайная величина
, задаваемая равенством
.
[править] Абсолютно непрерывные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание при условии случайной величины - это третья случайная величина , задаваемая равенством
- .
