ФЭНДОМ


Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей - это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

ОпределенияПравить

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $.

Дискретные случайные величиныПравить

Пусть $ X: \Omega \to \mathbb{R}^m $ и $ Y:\Omega \to \mathbb{R}^n $ - случайные величины, такие что случайный вектор $ (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} $ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности $ p_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n $. Пусть $ y_0 \in \mathbb{R}^n $ такой, что $ \mathbb{P}(Y = y_0) > 0 $. Тогда функция

$ p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m $,

где $ p_{Y} $ - функция вероятности случайной величины $ Y $, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины $ X $ при условии, что $ Y = y_0 $. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Пусть $ X: \Omega \to \mathbb{R}^m $ и $ Y:\Omega \to \mathbb{R}^n $ - случайные величины, такие что случайный вектор $ (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} $ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности $ f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n $. Пусть $ y_0 \in \mathbb{R}^n $ таково, что $ f_Y(y_0) > 0 $, где $ f_Y $ - плотность случайной величины $ Y $. Тогда функция

$ f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} $

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины $ X $ при условии, что $ Y = y_0 $. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределенийПравить

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  • $ p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n $,
  • $ \sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n $,

и

  • $ f_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0 $ почти всюду на $ \mathbb{R}^{m+n} $,
  • $ \int\limits_{\mathbb{R}^m} f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n $,
  • $ p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y) $,
  • $ f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy $.
  • Если случайные величины $ X $ и $ Y $ независимы, то условное распределение равно безусловному:
$ p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m $

или

$ f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_X(x) $ почти всюду на $ \mathbb{R}^m $.

Условные вероятностиПравить

Дискретные случайные величины Править

Если $ A $ - счётное подмножество $ \mathbb{R}^m $, то

$ \mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0) $.

Абсолютно непрерывные случайные величины Править

Если $ A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) $ - борелевское подмножество $ \mathbb{R}^m $, то полагаем по определению

$ \mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx $.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как $ \mathbb{P}(Y = y_0) = 0 $.

Условные математические ожиданияПравить

Дискретные случайные величины Править

$ \mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\, p_{X \mid Y}(x \mid y_0) $.
  • Условное математическое ожидание $ X $ при условии случайной величины $ Y $ - это третья случайная величина $ \mathbb{E}[X \mid Y] $, задаваемая равенством
$ \mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega $.

Абсолютно непрерывные случайные величины Править

  • Условное математическое ожидание случайной величины $ X $ при условии $ Y = y_0 $ получается интегрированием относительно условного распределения:
$ \mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx $.
  • Условное математическое ожидание $ X $ при условии случайной величины $ Y $ - это третья случайная величина $ \mathbb{E}[X \mid Y] $, задаваемая равенством
$ \mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega $.