Викия

Математика

Условное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей - это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

ОпределенияПравить

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}).

Дискретные случайные величиныПравить

Пусть X: \Omega \to \mathbb{R}^m и Y:\Omega \to \mathbb{R}^n - случайные величины, такие что случайный вектор (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности p_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n. Пусть y_0 \in \mathbb{R}^n такой, что \mathbb{P}(Y = y_0) > 0. Тогда функция

p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m,

где p_{Y} - функция вероятности случайной величины Y, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y_0. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Пусть X: \Omega \to \mathbb{R}^m и Y:\Omega \to \mathbb{R}^n - случайные величины, такие что случайный вектор (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n. Пусть y_0 \in \mathbb{R}^n таково, что f_Y(y_0) > 0, где f_Y - плотность случайной величины Y. Тогда функция

f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y_0. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределенийПравить

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  • p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n,
  • \sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n,

и

  • p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y),
  • f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy.
  • Если случайные величины X и Y независимы, то условное распределение равно безусловному:
p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m

или

f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_X(x) почти всюду на \mathbb{R}^m.

Условные вероятностиПравить

Дискретные случайные величины Править

Если A - счётное подмножество \mathbb{R}^m, то

\mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0).

Абсолютно непрерывные случайные величины Править

Если A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) - борелевское подмножество \mathbb{R}^m, то полагаем по определению

\mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как \mathbb{P}(Y = y_0) = 0.

Условные математические ожиданияПравить

Дискретные случайные величины Править

\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\, p_{X \mid Y}(x \mid y_0).
  • Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y - это третья случайная величина \mathbb{E}[X \mid Y], задаваемая равенством
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.

Абсолютно непрерывные случайные величины Править

  • Условное математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y_0 получается интегрированием относительно условного распределения:
\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.
  • Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y - это третья случайная величина \mathbb{E}[X \mid Y], задаваемая равенством
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.

Викия-сеть

Случайная вики