Условное математическое ожидание
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Усло́вное математи́ческое ожида́ние в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Содержание |
[править] Определения
Будем считать, что дано вероятностное пространство 
. Пусть 
- интегрируемая случайная величина, то есть 
. Пусть также 
- под-σ-алгебра σ-алгебры 
.
[править] УМО относительно σ-алгебры
Случайная величина 
называется условным математическим ожиданием 
относительно σ-алгебры 
, если
- измерима относительно .
-
,
где 
- индикатор события 
.
Условное математическое ожидание обозначается 
.
Пример. Пусть 
Положим 
. Тогда - σ-алгебра, и . Пусть случайная величина имеет вид
.
Тогда
[править] УМО относительно семейства событий
Пусть 
- произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием относительно 
называется
,
где 
- минимальная сигма-алгебра, содержащая .
Пример. Пусть Пусть также 
. Тогда 
. Пусть случайная величина имеет вид
- .
Тогда
[править] УМО относительно случайной величины
Пусть 
другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно 
называется
,
где 
- σ-алгебра, порождённая случайной величиной .
[править] Условная вероятность
Пусть 
- произвольное событие, и 
- его индикатор. Тогда условной вероятностью 
относительно называется
.
[править] Замечания
- Условное математическое ожидание - это случайная величина, а не число!
- Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если
и 
-почти всюду, то 
. Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
- Взяв
, получаем по определению:
,
и в частности справедлива формула полной вероятности:
.
- Пусть σ-алгебра
порождена разбиением 
. Тогда
.
В частности формула полной вероятности принимает классический вид:
,
а следовательно
.
[править] Основные свойства
- Если
, то существует борелевская функция 
, такая что
.
Условное математическое ожидание относительно события 
по определению равно
.
- Если
п.н., то 
п.н.
- Если независима от , то
п.н.
В частности, если 
независимые случайные величины, то
п.н.
- Если
- две σ-алгебры, такие что 
, то
.
- Если - -измерима, и - случайная величина, такая что
, то
.
[править] Дополнительные свойства
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату;
- Неравенство Йенсена.
[править] УМО для дискретных величин
Пусть - дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности 
. Тогда система событий 
является разбиением 
, и
,
а
,
где 
означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности 
.
Если случайная величина также дискретна, то
,
где 
- условная функция вероятности случайной величины относительно .
[править] УМО для абсолютно непрерывных случайных величин
Пусть - случайные величины, такие что вектор 
абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности 
. Введём условную плотность 
, положив по определению
,
где 
- плотность вероятности случайной величины . Тогда
,
где функция 
имеет вид
.
В частности,
.
[править] УМО в L2
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом 
. В нём определены скалярное произведение
,
и порождённая им норма
.
Множество всех случайных величин 
с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством . Тогда оператор 
, задаваемый равенством
,
является оператором ортогонального проектирования на . В частности:
- Условное математическое ожидание - это наилучшее средне-квадратичное приближение -измеримыми случайными величинами:
.
- Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
.
- Условное математическое ожидание идемпотентно:
.
[править] См. также
Эта статья содержит материал из статьи Условное математическое ожидание русской Википедии.
