Викия

Математика

Условное математическое ожидание

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Усло́вное математи́ческое ожида́ние в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

ОпределенияПравить

Будем считать, что дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Пусть X:\Omega \to \mathbb{R} - интегрируемая случайная величина, то есть \mathbb{E}\vert X \vert < \infty. Пусть также \mathcal{G} \subset \mathcal{F} - под-σ-алгебра σ-алгебры \mathcal{F}.

УМО относительно σ-алгебрыПравить

Случайная величина \hat{X} называется условным математическим ожиданием X относительно σ-алгебры \mathcal{G}, если

где \mathbf{1}_A - индикатор события A. Условное математическое ожидание обозначается \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}].

Пример. Пусть \Omega = \{1,2,3,4\},\, \mathcal{F} = 2^{\Omega},\,\mathbb{P}(\omega) = 1/4,\, \omega = 1,\ldots, 4. Положим \mathcal{G} = \{\varnothing, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega \}. Тогда \mathcal{G} - σ-алгебра, и \mathcal{G} \subset \mathcal{F}. Пусть случайная величина X имеет вид

X(\omega) = \omega^2,\; \omega = 1,\ldots, 4.

Тогда

\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}](\omega) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{5}{2}, & \omega = 1,2 \\[5pt]
\frac{25}{2}, & \omega = 3,4.
\end{matrix}
\right.

УМО относительно семейства событийПравить

Пусть \mathcal{C} = \{C_{\alpha}\} \subset \mathcal{F} - произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием X относительно \mathcal{C} называется

\mathbb{E}[X \mid \mathcal{C}] \equiv \mathbb{E}[X \mid \sigma(\mathcal{C})],

где \sigma(\mathcal{C}) - минимальная сигма-алгебра, содержащая \mathcal{C}.

Пример. Пусть \Omega = \{1,2,3,4\},\, \mathcal{F} = 2^{\Omega},\,\mathbb{P}(\omega) = 1/4,\, \omega = 1,\ldots, 4. Пусть также C = \{1,2,3\}. Тогда \sigma(C) = \{\varnothing, \{1,2,3\},\{4\},\Omega\} \subset \mathcal{F}. Пусть случайная величина X имеет вид

X(\omega) = \omega^2,\; \omega = 1,\ldots, 4.

Тогда

\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}](\omega) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{14}{3}, & \omega = 1,2,3 \\[5pt]
16, & \omega = 4.
\end{matrix}
\right.

УМО относительно случайной величиныПравить

Пусть Y:\Omega \to \mathbb{R} другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием X относительно Y называется

\mathbb{E}[X \mid Y] \equiv \mathbb{E}[X \mid \sigma(Y)],

где \sigma(Y) - σ-алгебра, порождённая случайной величиной Y.

Условная вероятность Править

Пусть B \in \mathcal{F} - произвольное событие, и \mathbf{1}_B - его индикатор. Тогда условной вероятностью B относительно \mathcal{G} называется

\mathbb{P}(B \mid \mathcal{G}) \equiv \mathbb{E}[\mathbf{1}_B \mid \mathcal{G}].

ЗамечанияПравить

  • Условное математическое ожидание - это случайная величина, а не число!
  • Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если \hat{X}_1 = \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}] и \hat{X}_1 = \hat{X}_2 \mathbb{P}-почти всюду, то \hat{X}_2 = \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]. Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
  • Взяв A = \Omega, получаем по определению:
\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]],

и в частности справедлива формула полной вероятности:

\mathbb{P}(B) = \mathbb{E}[\mathbb{P}(B\mid \mathcal{G})].
\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}] = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{E}[X \mid C_i] \mathbf{1}_{C_i}.

В частности формула полной вероятности принимает классический вид:

\mathbb{P}(A \mid \mathcal{G}) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A \mid C_i) \mathbf{1}_{C_i},

а следовательно

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A \mid C_i)\, \mathbb{P}(C_i).

Основные свойстваПравить

 \hat{X} = h(Y).

Условное математическое ожидание X относительно события \{Y = y\} по определению равно

\mathbb{E}[X \mid Y = y] \equiv h(y).
\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}] = \mathbb{E}[X] п.н.

В частности, если X,Y независимые случайные величины, то

\mathbb{E}[X \mid Y] = \mathbb{E}[X] п.н.
  • Если \mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2 - две σ-алгебры, такие что \mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2 \subset \mathcal{F}, то
\mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}_2]\mid \mathcal{G}_1] = \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}_1].
  • Если X - \mathcal{G}-измерима, и Y - случайная величина, такая что Y,XY \in L^1, то
\mathbb{E}[XY \mid \mathcal{G}] = X \, \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}].

Дополнительные свойстваПравить

УМО для дискретных величинПравить

Пусть Y - дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности \mathbb{P}(Y = y_j) \equiv p_Y(y_j) = p_j > 0,\; j = 1,2,\ldots. Тогда система событий \{Y = y_j\} является разбиением \Omega, и

\mathbb{E}[X \mid Y] = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mathbb{E}[X \mid Y = y_j] \mathbf{1}_{\{Y = y_j\}},

а

\mathbb{E}[X \mid Y = y_j] = \mathbb{E}_{j}[X],

где \mathbb{E}_j означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности \mathbb{P}_j(\cdot) = \mathbb{P}(\cdot \mid Y = y_j).

Если случайная величина X также дискретна, то

\mathbb{E}[X \mid Y = y_j] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, \mathbb{P}(X = x_i \mid Y = y_j) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_{X \mid Y}(x_i \mid y_j),

где p_{X \mid Y} - условная функция вероятности случайной величины X относительно Y.

УМО для абсолютно непрерывных случайных величинПравить

Пусть X,Y - случайные величины, такие что вектор (X,Y)^{\top} абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности f_{X,Y}(x,y). Введём условную плотность f_{X \mid Y}, положив по определению

f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)},

где f_Y - плотность вероятности случайной величины Y. Тогда

\mathbb{E}[X \mid Y] = h(Y),

где функция h имеет вид

h(y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_{X\mid Y}(x \mid y)\, dx.

В частности,

\mathbb{E}[X \mid Y = y_j] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_{X\mid Y}(x \mid y_j)\, dx.

УМО в L2Править

Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом L^2. В нём определены скалярное произведение

\langle X, Y\rangle \equiv \mathbb{E}[XY],\; \forall X,Y \in L^2,

и порождённая им норма

\|X\| = \sqrt{\mathbb{E}\left[X^2\right]},\; \forall X \in L^2.

Множество всех случайных величин L^2_{\mathcal{G}} с конечным вторым моментом и измеримых относительно \mathcal{G}, где \mathcal{G} \subset \mathcal{F}, является подпространством L^2. Тогда оператор \Pi_{L^2_{\mathcal{G}}}:L^2 \to L^2, задаваемый равенством

\Pi_{L^2_{\mathcal{G}}}(X) = \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}],

является оператором ортогонального проектирования на L^2_{\mathcal{G}}. В частности:

  • Условное математическое ожидание \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}] - это наилучшее средне-квадратичное приближение X \mathcal{G}-измеримыми случайными величинами:
\|X - \mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]\| = \inf\limits_{Z \in L^2_{\mathcal{G}}} \|X - Z\|.
  • Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
\langle X, Z \rangle = \langle \mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}] , Z\rangle,\; \forall Z \in L^2_{\mathcal{G}}.
\Pi^2_{L^2_{\mathcal{G}}} = \Pi_{L^2_{\mathcal{G}}}.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Условное математическое ожидание русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики