Викия

Математика

Треугольник

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Эта статья содержит материал из статьи Треугольник русской Википедии.

Шаблон:Многоугольник

Треуго́льникевклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Элементы треугольника Править

Файл:Triangle.png

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как \Delta ABC (см. рис.). Треугольник \Delta ABC имеет три стороны:

  • сторона AB;
  • сторона BC;
  • сторона CA.

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

  • |AB|=c;
  • |BC|=a;
  • |AC|=b.

Треугольник \Delta ABC имеет следующие углы:

  • угол \angle A=\angle BAC — угол, образованный сторонами AB и AC и противолежащий стороне BC;
  • угол \angle B=\angle ABC — угол, образованный сторонами AB и BC и противолежащий стороне AC;
  • угол \angle C=\angle ACB — угол, образованный сторонами BC и AC и противолежащий стороне AB.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

  • Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине. Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Свойства Править

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
  • Для внешнего угла треугольника справедлива Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Признаки равенства треугольников Править

Файл:Признак 1 равенства треугольников.png
Файл:Признак 2 равенства треугольников.png
Файл:Признак 3 равенства треугольников.png

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников Править

Типы треугольников
Остроугольный треугольник
Остроугольный
Тупоугольный треугольник
Тупоугольный
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный
Разносторонний треугольник
Разносторонний
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный
Равносторонний треугольник
Равносторонний

По величине углов Править

Файл:Triangle sommeangles.svg

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон Править

  • Разносторонним (неравносторонним) называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Определения, связанные с треугольником Править

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки Править

  • Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником.
  • Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
  • Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
  • Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
  • * Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
  • Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки P и Q такие, что \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP и \angle BAP = \angle CBP = \angle ACP называются точками Брокара.

Прямые Править

Замечание Править

Фраза конца последнего абзаца "На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника" не понятна. Такие прямые совпадают со сторонами либо треугольника, либо ортотреугольника. Получается, что ортоцентрических осей несколько.

  • Видимо, эту фразу следует понимать следующим образом:

На одной прямой лежат также 3 точки пересечения продолжений сторон данного треугольника и продолжений противоположных им сторон ортотреугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера

  • Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Треугольники Править

  • Треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником. Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
  • Треугольник оснований медиан A'B'C' данного треугольника ABC, т. е. треугольник, вершины которого суть средины сторон треугольника ABC, называется дополнительным или * серединным для данного треугольника.
  • Треугольник ABC, стороны которого проходят через вершины треугольника ABC и параллельны противолежащим его сторонам, называется антидополнительным для данного треугольника ABC.
  • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
  • Треугольник Эйлера или треугольник Фейербаха- треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины.
  • Ортотреугольник - треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Стороны ортотреугольника антипараллельны соответствующим сторонам данного треугольника.
  • Если вокруг данного остроугольного треугольника ∆ABC описать окружность и в трёх вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник ΔA'B'C' по отношению к данному треугольнику ΔABC. Стороны тангенциального треугольника ΔA'B'C' антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника и параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.

Окружности треугольника Править

Файл:Треугольник АВС и его окружности.png

Окружности, проходящие через вершины треугольника Править

  • Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, т. е. две из трех его вершин не совпадают.
  • Окружность Джонсона — окружность, проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

Окружности, касающиеся сторон треугольника или их продолжений Править

Файл:Окружности Мальфатти.png
  • Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти.
    • Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке в точке Аджима-Мальфатти(=Ajima-Malfatti Point= http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/ajmalf.html).
Файл:Полувписанные окружности.png
  • Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом.
    • Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
  • Лемма Веррьера[1]. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр).

Замечание Править

Вообще говоря, окружностей типа окружностей Веррьера, касающихся двух сторон треугольника и его описанной окружности, существует не три, а шесть: три внутренних и три внешних. Три последние касаются продолжений двух сторон треугольника и внешним образом описанной окружности. Для них можно ввести свою точку Веррьера.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга внутри треугольника Править

  • Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше)
  • Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга вне треугольника Править

  • Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника.
  • Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок).
Файл:Circ9pnt3.svg
  • Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок)
Файл:Apollonius point.svg

Другие окружности Править

Файл:Окружность Ламуна.png
  • Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
Файл:Окружность Конвея.png
  • Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

Эллипсы, параболы и гиперболы треугольника Править

Файл:Inconic with perspector.png
  • В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке[2].
Файл:Chevians passing through Steiner outellipse focuses.png
  • В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника)[3]. Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера[4].
Файл:Brocard ellipse.png
  • Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана [5].
Файл:Kiepert parabola.png
Файл:Kiepert hyperbola.png
  • Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны)[8]. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек[8].
  • Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[9].
  • Гипербола Енжабека — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и точку Лемуана. На ней лежит центр описанной окружности.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.[10]

Преобразования Править

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярноое преобразование.

Изогональное сопряжение Править

Замечание Править

Фраза "Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают" из последнего абзаца означает то, что шесть ортогональных проекций пары изогонально сопряжённых точек на стороны треугольника лежат на одной окружности. В частности, шесть ортогональных проекций пары изогонально сопряжённых точек в виде ортоцентра и центра описанной окружности лежат на одной окружности - окружности Эйлера.

Изотомическое сопряжение Править

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Изоциркулярное преобразование Править

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это - точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке X, лежит на трилинейной поляре точки Y, то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке Y лежит на трилинейной поляре точки X).

Кубики Править

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек X, что прямая XX' проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь X' — точка, изогонально сопряжённая X). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей[12].

  • Кубика Дарбу получается, если зафиксировать точку, симметричную ортоцентру относительно центра описанной окружности. Она проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
  • Кубика Томсона получается, если в качестве фиксированной точки выбрать центроид. Кубика Томсона проходит через центроид, точку Лемуана, ортоцентр, центр описанной окружности, середины сторон и середины высот.
  • Кубика Мак-Кэя получится, если в качестве фиксированной точки взять центр описанной окружности. Она также проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
  • Кубика Нейберга — множество таких точек X, что XX' \parallel OH — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей.

Соотношения в треугольнике Править

Примечание: в данном разделе ~a, ~b, ~c — это длины трёх сторон треугольника, и  ~\alpha,  ~\beta,  ~\gamma — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника Править

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

  • ~a < b+c;
  • ~b < c+a;
  • ~c < a+b.

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника Править

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Тождество для тангенсов Править

 \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta +  \operatorname{tg}\gamma = \operatorname{tg}\alpha  \operatorname{tg}\beta \operatorname{tg}\gamma

Теорема синусов Править

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R ,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Из теоремы следует, что если a < b < c, то ~\alpha < ~\beta < ~\gamma.

Теорема косинусов Править

 ~c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma ;
 ~b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta;
 ~a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
,

Является обобщением теоремы Пифагора.

Теорема о проекциях Править

 c=  a \cos \beta + b \cos \alpha

Теорема тангенсов Править

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}; \frac{b-c}{b+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta+\gamma)]}; \frac{a-c}{a+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)]}

Другое название: формула Региомонтана.

Теорема котангенсов Править

\frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} = r

Прочие соотношения Править

Метрические соотношения в треугольнике приведены для \triangle ABC:

Где:

Решение треугольников Править

См. также основную статью: Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника Править

  1. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b, так как \ h_b = a \sin \gamma, то:
  2. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
  3. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
  4. S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
  5. S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} — формула Герона
  6. S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
  7. S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
  8. S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2} = \frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2}
  9. S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta)}
  10. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}) ориентированная площадь треугольника.
  11. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}
Частные случаи
  1. S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2} — для прямоугольного треугольника
  2. S=\frac {a^2\sqrt{3}}{4} — для равностороннего треугольника
Обозначения

Для площади справедливы неравенства:

  • \sqrt{27}r^2\leqslant S\leqslant \frac{\sqrt{27}}{4}R^2, причём оба равенства достигаются.
  • S\leqslant \frac{1}{4}(a^2+b^2), где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов Править

Пусть вершины треугольника находятся в точках \ \mathbf{r}_A (x_A,y_A,z_A), \ \mathbf{r}_B (x_B,y_B,z_B), \ \mathbf {r}_C (x_C,y_C,z_C).

Введём вектор площади \ \mathbf{S} =\frac12 [\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A]. Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:


 \mathbf{S} =\frac12
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\
x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix}

Положим ~ \mathbf{S} =S_x \mathbf{i}+ S_y \mathbf{j}+ S_z \mathbf{k}, где ~ S_x, ~ S_y, ~ S_z — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом


S_x =\frac12
\begin{vmatrix}
y_B - y_A & z_B - z_A \\
y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix} = \frac12
\begin{vmatrix}
1 & y_A & z_A \\
1 & y_B & z_B \\
1 & y_C & z_C
\end{vmatrix}

и аналогично


S_y =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & 1 & z_A \\
x_B & 1 & z_B \\
x_C & 1 & z_C
\end{vmatrix}, \qquad
S_z =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}

Площадь треугольника равна S=\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2}.

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Теоремы о треугольниках Править

Шаблон:Заготовка раздела

История изучения Править

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

См. также Править

Шаблон:Викисловарь Шаблон:Кол

Шаблон:Конец кол

Примечания Править

Шаблон:Примечания

Ссылки Править

Литература Править

Шаблон:Многоугольники


Ошибка цитирования Для существующего тега <ref> не найдено соответствующего тега <references/>

Викия-сеть

Случайная вики