Викия

Математика

Точная верхняя и нижняя грань

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

ОпределенияПравить

Пусть дано частично упорядоченное множество (X,\le) и его подмножество M \subset X. Тогда элемент s\in X называется точной верхней гранью или супре́мумом M, если он является наименьшей верхней гранью M, то есть

  • \forall x \in M\quad x \le s;
  • \forall s'\in X\quad \bigl( \forall x \in M \quad x \le s' \bigr) \Rightarrow \bigl( s \le s' \bigr).

Аналогично элемент i\in X называется точной нижней гранью или инфимумом M, если он является наибольшей нижней гранью M, то есть

  • \forall x \in M\quad i \le x;
  • \forall i'\in X\quad \bigl( \forall x \in M \quad i' \le x \bigr) \Rightarrow \bigl( i' \le i \bigr).

Пишут:

  • s = \sup M;
  • i = \inf M.

ЗамечаниеПравить

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли \sup M и \inf M множеству M или нет. Если s\in M, то говорят, что s является наибольшим элементом или максимумом M. Если i\in M, то говорят, что i является наименьшим элементом или минимумом M.

ПримерыПравить

  • На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. \inf такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
  • Для множества S=\left\{\frac{1}{k} | k\in\Bbb N \right\} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \right\}
 \sup S = 1;  \inf S = 0.
  • Множество положительных действительных чисел \Bbb R_+ = \{ x | x>0  \} не имеет точной верхней грани в \Bbb R, точная нижняя грань \inf \Bbb R_+ = 0.
  • Множество X = \{ x\in\Bbb Q | x^2 < 2 \} рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в \Bbb Q, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
\sup X = \sqrt{2} и \inf X = -\sqrt{2}.

СвойстваПравить

  • Для любого ограниченного сверху подмножества \mathbb{R}, существует \sup.
  • Для любого ограниченного снизу подмножества \mathbb{R}, существует \inf.
  • Вешественное число s, является \sup X тогда и только тогда, когда s есть верхняя грань X т.е. для всех элементов x\in X, x\geqslant s.
  • для любого \varepsilon>0 найдётся x\in X, такой, что x+\varepsilon > s) (т.е. к s можно сколь угодно «близко подобраться» из множества X)
  • Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Викия-сеть

Случайная вики