Викия

Математика

Топологическое пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Топологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.

ОпределениеПравить

Пусть дано множество X. Система \mathcal{T} его подмножеств называется тополо́гией на X, если выполнены следующие условия:

  1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если U_{\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A, то \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.
  2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если U_{i} \in \mathcal{T} \quad i = 1,\ldots,n, то \bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}.
  3. X,\varnothing \in \mathcal{T}.

Пара (X,\mathcal{T}) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие \mathcal{T}, называются открытыми множествами.

Способы задания топологииПравить

База топологииПравить

См. также основную статью: База топологии

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии B \subset \mathcal{T} называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из B, то есть \forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset B, такие что

U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

ПредбазаПравить

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов.

Замкнутые множестваПравить

См. также основную статью: Замкнутое множество

Множество V\subset X называется замкнутым, если оно является дополнением к открытому, то есть \exists U\in \mathcal{T}, такое что V = X \setminus U. Эквивалентным заданию всех открытых множеств, является задание всех замкнутых множеств.

Индуцированная топологияПравить

См. также основную статью: Индуцированная топология

Естественным образом задаётся топология на подмножестве Y \subset X. Открытыми называются все те множества, содержащиеся в Y, которые являются пересечением какого-либо открытого множества в X с Y, то есть

\mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T} \}.

Топология \mathcal{T}_Y называется индуцированной топологией \mathcal{T}.

ПримерыПравить

  • Вещественная прямая \mathbb{R} является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов \bigl\{(a,b) \mid a,b\in \mathbb{R} \bigr\} является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии. Например, \mathbb{R}_\to, прямая с топологией стрелки, где открытые множества имеют вид (a,\infty). Или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество это конечное множество точек.
  • Вообще, евклидовы пространства \mathbb{R}^n являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.
  • Рассмотрим множество C(X,Y) непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами C(K,U), состоящими из отображений, при которых образ компакта K в X лежит в открытом множестве U в Y.
  • Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств X. А именно ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство X.

Непрерывные отображенияПравить

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f:(X,\mathcal{T}_X) \to (Y,\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория Top всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Топологическое пространство русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики