Викия

Математика

Топологическое линейное пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Множество E называется топологическим линейным пространством, если

  1. E представляет собой линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел;
  2. E является топологическим пространством;
  3. Операции сложения и умножения на число непрерывны относительно заданной в E топологии, т. е.
    1. если z_0 = x_0 + y_0, то для каждой окрестности U точки z_0 можно указать такие окрестности V и W точек x_0 и y_0 соответственно, что x + y \in U при x \in V, y \in W;
    2. если y_0 = \alpha_0 x_0, то для каждой орестности U точки y_0 существуют такая окрестность V точки x_0 и такое число \varepsilon > 0, что \alpha x \in U при |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon и x \in V.

Употребляется также термин "топологическое векторное пространство".

Типы линейных топологических пространств Править

В зависимости от конкретных приложений, обычно на линейные топологические пространства накладываются те или иные дополнительные условия. Ниже перечислены некоторые типы линейных топологических пространств, упорядоченных (с определённой степеню условности) по наличию у них "хороших" свойств.

  • Локально выпуклые топологические векторные пространства (для краткости — просто "локально выпуклые пространства"): в таких пространствах каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств. С помощью так называемых функционалов Минковского можно показать, что топологическое векторное пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология определяется с помощью семейства полунорм. Условие локальной выпуклости является довольно общим; пространства, не являющиеся локально выпуклыми, могут обладать разнообразными паталогическими свойствами, и их геометрия может быть слишком "неестественной" для приложений.
  • Бочечные пространства: локально выпуклые пространства, где выполняется Теорема Банаха — Штейнгауза.
  • Монтелевские пространства: бочечные пространства, обладающие свойством Гейне — Бореля.
  • Борнологические пространства: локально выпуклые пространства, в которых непрерывные линейные операторы со значениями в локально выпуклых пространствах есть в точности ограниченные линейные операторы.
  • LF-пространства: LF-пространство — это индуктивный предел пространств Фреше. ILH-пространствапроективные пределы гильбертовых пространств.
  • F-пространства: полные топологические векторные пространства с инвариантной (относительно сдвигов) метрикой. В частности, таковыми являются все пространства Lp (p > 0).
  • Пространства Фреше: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся некоторой инвариантной (относительно сдвигов) метрикой, или, что то же самое, счётным семейством полунорм. Понятие пространства Фреше представляет собой одно из важнейших обобщений понятия банахова пространства. Многие функциональные пространства, представляющие интерес, являются пространствами Фреше. Пространство Фреше можно определять также как локально выпуклое F-пространство.
  • Ядерные пространства: важный частный случай пространств Фреше; в ядерных пространствах каждое ограниченное отображение в со значениями в произвольном банаховом пространстве является ядерным оператором. Ядерные пространства, наряду с банаховыми, являются пространствами Фреше, представляющими наибольший интерес. При этом классы ядерных и банаховых пространств в пересечении образуют класс конечномерных пространств.
  • Нормированные пространства: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся нормой. Линейные операторы, действующие в нормированных пространствах, непрерывны тогда и только тогда, когда они ограничены.
  • Банаховы пространства: полные нормированные пространства. Они представляют собой объект изучения классического функционального анализа; большая часть теорем анализа формулируется именно для банаховых пространств.
  • Рефлексивные банаховы пространства: Банаховы пространства, естественно изоморфные своему второму сопряжению.
  • Гильбертовы пространства: банаховы пространства, норма которых порождается скалярным произведением; несмотря на то, что эти пространства могут быть и бесконечномерными, их геометрические свойства весьма близки к свойствам конечномерных пространств.
  • Евклидовы пространства: конечномерные гильбертовы пространства. Всякое локально компактное хаусдорфово пространство изоморфно (как топологическое векторное пространство) некоторому евклидову пространству.nl:Topologische vectorruimte

pl:Przestrzeń liniowo-topologiczna pms:Spassi vetorial topològichsv:Topologiska vektorrum

Викия-сеть

Случайная вики