Викия

Математика

Теория операторов

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T из векторного пространства X в векторное пространствo Y называется линейным оператором если T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) для любых x и y в X и любых скаляров \alpha и \beta. Часто пишут Tx вместо T(x). Линейный оператор из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M такое что \lVert Tx\rVert\le M\lVert x\rVert для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается \lVert T\rVert. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L(X,Y). В случае когда X=Y пишут L(X) вместо L(X,X). Если HГильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На L(X,Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T+S)x=Tx+Sx и T(\alpha x)=\alpha (Tx), где T,S\in L(X,Y), x,y\in X, а \alpha — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L(X,Y) превращается в нормированное пространство. В частности, \lVert S+T\rVert\le\lVert S\rVert+\lVert T\rVert и \lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert для любых T,S\in L(X,Y) и произвольного скаляра \alpha. Пространство L(X,Y) является Банаховым тогда и только тогда когда YБанахово.

Пусть X,Y и Z — нормированные пространства, S\in L(X,Y) и T\in L(Y,Z). Композиция S и T обозначается TS и называется «произведением» операторов S и T. Заметим что TS\in L(X,Z) и \lVert TS\rVert\le\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert. Если XБанахово пространство, то L(X) с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

  1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
  2. Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
  3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
  4. Совокупности операторов (то есть, подмножества L(X)): операторные алгебры, операторные полугруппы, и др.
  5. Теория инвариантных подпространств.


Эта статья содержит материал из статьи Теория операторов русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики