Викия

Математика

Теоремы Силова

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В теории групп, теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Необходимые определения Править

Пусть G — конечная группа, а pпростое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка p^t называются p-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по p:  |G| = p^ns, НОД(p, s) = 1. Тогда силовской p-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок p^n.

Теоремы Править

Пусть G — конечная группа. Тогда:

1. Силовская p-подгруппа существует.

2. Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg^{-1}, где g — эелемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).

3. Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p (N_p \equiv 1 {\rm mod} p) и делит порядок G.

СледствиеПравить

Если все делители |G|, кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. 350 = 2*52*7, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.

Доказательства Править

Пусть pn — примарный по p делитель порядка G.

1. Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа {<}a{>}_{p^k} (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: |G| = |Z| + \sum |K_a| (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pnr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве правых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делить p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем \forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P, а значит, h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}, то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем N_p \equiv 1 {\rm mod} p.

Литература Править

1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: ФизМатЛит, 2001.

2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.cs:Sylowovy větyhe:משפטי סילוnl:Stellingen van Sylow pl:Twierdzenie Sylowazh-yue:Sylow p-子羣

Викия-сеть

Случайная вики