Викия

Математика

Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка Править

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке f:[a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f\in C\bigl( [a,b] \bigr). Тогда существуют c,d \in \mathbb{R} такие, что

f\bigl([a,b]\bigr) = [c,d].

Замечания Править

  • Если функция f постоянна, то c=d.
  • Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию f:[0,1] \to \R, заданную формулой
f(x) = \left\{
\begin{matrix}
\sin \left(\frac{\pi}{2x}\right), & x \in (0,1]\\
0, & x = 0
\end{matrix}
\right..

Тогда функция f обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке x=0.

Свойство Дарбу для монотонных функций Править

Пусть функция f:[a,b] \to \R монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение Править

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть F:[a,b] \to \Rдифференцируемая внутри области определения, то есть F \in \mathcal{D}\bigl((a,b)\bigr), и F'(x) = f(x),\; x\in (a,b), а также дифференцируема справа в точке a: F'_+(a) = f_+(a) и слева в точке b: F'_-(b) = f_-(b). Тогда

f\bigl([a,b]\bigr) = \bigl[f_+(a),f_-(b)\bigr], если f_+(a) \le f_-(b),

и

f\bigl([a,b]\bigr) = \bigl[f_-(b),f_+(a)\bigr], если f_+(a) > f_-(b).

См. также Править

hu:Darboux-tétel

Викия-сеть

Случайная вики