Викия

Математика

Теорема о неявной функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Изолированная статья

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y=f(x),   f:X\to Y,

заданной уравнением

F(x,y)=z_0,   F:X\times Y\to Z

и значение z_0\in Z фиксированно.

Одномерный случайПравить

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция F:\R\times\R\to\R

тогда найдётся такой двумерный промежуток  I=I_x \times I_y, являющийся окрестностью точки (x_0,y_0), и такая непрерывная функция f:I_x\to I_y, что для любой точки (x,y) \in I

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)

Теорема о неявной функции/рамка

Обычно дополнительно предполагается что функция F непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотнности следует из того что F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad, здесь F_y' обозначает частную производную F по y. Более того, в этом случае, производная функции f может быть вычислена по формуле

f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.

Многомерный случайПравить

Пусть \R^n и \R^m суть n- и m-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно x=(x_1,\dots,x_n) и y=(y_1,\dots,y_m). Пусть F отображает некоторую окрестность W точки (x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m в пространство \R^m и F_1,F_2,...,F_m — координатные функции (от переменных x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) отображения F, т. е. F=(F_1,F_2,...,F_m).

Если отображение F дифференцируемо на W, F(x_0,y_0)=0, а якобиан отображения y\mapsto F(x_0,y) не равен нулю в y_0 то существуют окрестности U и V точек x_0 и y_0 соответственно в пространствах \R^n и \R^m, U\times V\subset W и единственное отображение f : U \to V такие, что для всех x\in U выполняется условие F(x, f(x)) = 0\in \R^m.

При этом f(x_0)=y_0. Более того, отображение f дифференцируемо на U.

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
  • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
  • Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.


he:משפט הפונקציות הסתומות

hu:Implicitfüggvény-tétel

Викия-сеть

Случайная вики