Теорема Штольца

В математическом анализе теоремой Што́льца называется утверждение, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь доказавшего её австрийского математика Отто Штольца.

Формулировка

Пусть $a_n$ и $b_n$ — две последовательности вещественных чисел, причём $b_n$ положительна, неограничена и строго возрастает. Тогда, если существует предел

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$,

то существует и предел

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$,

причём эти пределы равны.

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность $a_n$ сходится к числу $a$, то последовательность средних арифметических $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}$ сходится к этому же числу. he:משפט שטולץ pl:Twierdzenie Stolza uk:Теорема Штольца