Викия

Математика

Теорема Хаусдорфа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема (или парадокс) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества T двумерной сферы S2, дополнение \bar S^2=S^2\setminus T которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств A, B и C, конгруэнтных друг другу и множеству BC. Впервые опубликованаШаблон:Ref в 1914 году Ф. Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанная на её идеях более поздняя теорема Банаха — Тарского) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии \bar S^2 можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии \bar S^2). Поэтому иногда называется «парадоксом».

Доказательство теоремы существенно использует аксиому выбора. Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (т.е. невозможность соответствующего разбиения сферы).

Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует конечно-аддитивной меры, определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (т.е. инвариантной относительно движений сферы).

Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая. Она утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

Идея доказательстваПравить

Здесь мы докажем упрощённый вариант теоремы. А именно, мы докажем существование разбиения сферы с выколотым счётным множеством точек (назовём её \bar S^2) на три попарно конгруэнтных куска A, B и C таких, что BC конгруэнтно подмножеству A. Как и теорема Хаусдорфа, это утверждение показывает, что на двумерной сфере нельзя определить «площадь», значение которой существовало бы для любого подмножества и оставалось бы неизменным при движениях.

Доказательство разбивается на следующие три шага:

  1. Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими \Gamma на три подмножества.
  2. Строим свободное изометрическое действие этой группы на \bar S^2.
  3. Используем разбиение \Gamma и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.

Шаг 1Править

Рассмотрим группу \Gamma с двумя образующими a и b и соотношениями a^2=1 и b^3=1 (иначе говоря, \Gamma={\mathbb Z}_2*{\mathbb Z}_3, где * обозначает свободное произведение групп). Группа \Gamma состоит из пустого слова, которое мы обозначаем 1 (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов b, b^{-1} и a такие, что b и b^{-1} чередуются с a. Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a или b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots b^{\pm 1}a или a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots ab^{\pm 1} или  b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots ab^{\pm 1}.

Группу \Gamma можно разбить следующим образом: пусть {\mathbb A} будет множество всех слов, начинающихся с b, {\mathbb B} будет множество всех слов, начинающихся с b^{-1} и {\mathbb C} будет множество всех остальных элементов \Gamma. Ясно, что

\Gamma={\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup{\mathbb C},

т. е. мы разбили нашу группу \Gamma на три непересекающихся подмножества. Также

 {\mathbb A}=b {\mathbb C},
  {\mathbb B}=b^{-1} {\mathbb C},
  {\mathbb A}\cup{\mathbb B}\subset {\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup \{1,a\}=a{\mathbb C}.

На рисунке справа изображён граф Келли группы \Gamma, и подмножества {\mathbb A},\ {\mathbb B} и {\mathbb C} отмечены соответственно красным, синим и зелёным цветом.

Шаг 2Править

Несложно показать, что существует представление \Gamma с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток \bar S^2. (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы \pi и 2\pi/3 общего положения и сопоставить их образующим a и b, то индуцированное действие \Gamma будет удовлетворять этому условию).

Шаг 3Править

Рассмотрим множество X, содержащее по одному элементу каждой орбиты \Gamma на \bar S^2 (утверждение о существовании этого множества опирается на аксиому выбора). Тогда наша «колотая» сфера \bar S^2 представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:

\bar S^2=A\cup B\cup C,

где

 A= {\mathbb A}X,\ B={\mathbb B}X,\  C={\mathbb C}X .

Используя тот же приём, что и на шаге 1, мы получаем:

 A = b C,
  B = b^{-1} C,
  A\cup B \subset a C,

и, так как a и b являются изометриями, мы получаем, что А, B и C конгруэнтны, и АB конгруэнтно подмножеству C.

ЛитератураПравить

Викия-сеть

Случайная вики