Викия

Математика

Теорема Тонелли — Фубини

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка Править

Пусть даны два пространства с мерами (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2. Обозначим (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) их произведение. Пусть функция f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R} интегрируема относительно меры \mu_1 \otimes \mu_2. Тогда

  • функция  x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2) определена и интегрируема относительно \mu_1;
  • функция  x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1) определена и интегрируема относительно \mu_2;
  • имеют место равенства
\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1)

и

\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2).

Частные случаиПравить

Теория вероятностей Править

Пусть (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2 - вероятностные пространства, и X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R} - случайная величина на (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2). Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализПравить

Пусть f:D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике [a,b] \times [c,d], то есть f \in {R}(D). Тогда

\iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики