Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с мерами $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2$. Обозначим $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ их произведение. Пусть функция $f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R}$ интегрируема относительно меры $\mu_1 \otimes \mu_2$. Тогда

• функция $x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)$ определена и интегрируема относительно $\mu_1$;
• функция $x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)$ определена и интегрируема относительно $\mu_2$;
• имеют место равенства

$\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1)$

и

$\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2)$.

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $(\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2$ - вероятностные пространства, и $X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R}$ - случайная величина на $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)$. Тогда

$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right]$,

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f : D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a, b]\times [c, d]$, то есть $f \in {R}(D)$. Тогда

$\iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy$,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. также

• Произведение мер;
• Тонелли, Леониде;
• Фубини, Гвидо.

cs:Fubiniova věta pl:Twierdzenie Fubiniego