ФЭНДОМ


Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка Править

Пусть даны два пространства с мерами $ (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2 $. Обозначим $ (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) $ их произведение. Пусть функция $ f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R} $ интегрируема относительно меры $ \mu_1 \otimes \mu_2 $. Тогда

  • функция $ x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2) $ определена и интегрируема относительно $ \mu_1 $;
  • функция $ x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1) $ определена и интегрируема относительно $ \mu_2 $;
  • имеют место равенства
$ \iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1) $

и

$ \iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2) $.

Частные случаиПравить

Теория вероятностей Править

Пусть $ (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2 $ - вероятностные пространства, и $ X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R} $ - случайная величина на $ (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2) $. Тогда

$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right] $,

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализПравить

Пусть $ f:D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} $ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $ [a,b] \times [c,d] $, то есть $ f \in {R}(D) $. Тогда

$ \iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy $,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. такжеПравить